Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Parámetros de una variable aleatoria continua 03

     

    Halla la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X que tiene por función de densidad:

     

     

    Solución:

    Esperanza (μ):

    Varianza (σ2):

    Desviación típica (σ):

     

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria continua 02

     

    Sea f(x) la función de densidad de una variable aleatoria X:

    a)  Determina su función de distribución.

    b)  Representa ambas funciones.

    c)  Halla la media.

     

     

    Solución:

    a)  Función de distribución:

    b)  Representaciones gráficas:

    Función de densidad:

    Función de distribución:

    c)  Media:

     

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria continua 01

     

    Halla la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable X cuya función de densidad es:

     

     

    Solución:

    Esperanza (μ):

    Varianza (σ2):

    Desviación típica (σ):

     

     

     

     

  • Función de distribución de una variable aleatoria continua 03

     

    Sea la siguiente función:

    a)  Comprueba que f es una función de densidad.

    b)  Halla la función de distribución F de la variable aleatoria X cuya función de densidad es f y represéntala gráficamente.

    c)  Calcula a partir de f y de F:

    P[X≤0,5]

    P[X≥0,75]

    P[–0,5≤X≤0,5]

    P[0,2≤X≤0,8]

     

     

    Solución:

    a)  Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

    Es evidente que f(x)≥0, para todo x, ya que:

    Si x[0, 1]:

    f(x) = 3x2≥0

    Si x[0, 1]:

    f(x) = 0

    Por tanto f es una función de densidad.

    b)  Función de distribución (F) y su gráfica:

    Si x<0:

    Si 0≤x≤1:

    Si x>1:

    c)  Utilizando f:

    Utilizando F:

    P[X≤0,5] = P[X<0] + P[0≤X≤0,5] = 0 + F(0,5) – F(0) = 0,53 – 0 = 0,125

    P[X≥0,75] = 1 – P[X≤0,75] = 1 – F(0,75) = 1 – 0,753 = 0,578125

    P[–0,5≤X≤0,5] = F(0,5) – F(–0,5) = 0,53 – 0 = 0,125

    P[0,2≤X≤0,8] = F(0,8) – F(0,2) = 0,83 – 0,23 = 0,504

     

     

     

  • Función de distribución de una variable aleatoria continua 02

     

    Sea X una variable aleatoria con función de densidad:

    a)  Calcula k

    b)  Halla P[0≤X≤1]

     

     

    Solución:

    a)  Como se ha de verificar que:

    (1/2) + 2k = 1 2k = 1/2 k = 1/4

    b)  Primer método:

    P[0≤X≤1] = Área del trapecio A = {[(2/4) + (1/4)]/2}·(1 – 0) = 3/8

    Segundo método:

    Tercer método:

    Función de distribución:

    P[0≤X≤1] = F(1) – F(0) = [(1/8) + (1/4)] = (1 + 2)/8 = 3/8