Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial 04

¿Cuál es la media de hijos varones de una familia de seis hijos? ¿Y la desviación típica?

Solución:

Suponiendo iguales las probabilidades de que un determinado hijo de una pareja sea hombre o mujer y X el número de hijos varones, nos encontramos con una distribución binomial de parámetros n = 6, p = 0,5 y, por tanto, q = 1 – p = 1 – 0,5 = 0,5.

Media (μ):

μ = n·p = 6·0,5 = 3

Desviación típica (σ):

Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial 03

La probabilidad de que un ordenador salga de fábrica defectuoso es del 0,04 %. Halla:

a)  El número de ordenadores defectuosos esperados en un lote de 5000.

b)  La varianza y la desviación típica.

Solución:

Como un ordenador es defectuoso o no, se trata de una distribución binomial con:

n = 5000 y p = 0,04/100 = 4·10^–4, o sea, B (5000; 4·10^–4)

a)  El número de relojes defectuosos esperado es la media (μ), por tanto:

μ = n·p = 5000·4·10^–4 = 2

b)  Varianza (σ²):

σ² = n·p·q

q = 1 – p = 1 – 4·10^–4

σ² = 2·(1 – 4·10^–4) = 1,9992

Desviación típica:

Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial 02

En una binomial B(8; 0,2), halla: P(X=0), P(X≠0) y P(X=2), así como la media y la desviación típica.

Solución:

siendo n = 8 , p = 0,2 y q = 1 – p = 0,8

Probabilidad de ningún éxito:

Probabilidad de algún éxito:

Probabildad de dos éxitos:

Media (μ):

μ = n·p = 8·0,2 = 1,6

Desviación típica (σ):

Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial 01

Tenemos una moneda defectuosa tal que, al lanzarla, se obtiene cara en un 25 % de los casos. Lanzamos tres veces y anotamos el número de caras obtenidas.

a)  Comprueba que la variable aleatoria X que indica el número de caras obtenidas en los tres lanzamientos es de tipo binomial, y halla su función de probabilidad.

b)  Halla la media, la varianza y la desviación típica.

c)  Calcula la probabilidad de obtener 0, 1, 2 y 3 caras.

d)  Halla la probabilidad de obtener a lo sumo una cara.

e)  Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara.

Solución:

a)  Una variable aleatoria se dice que sigue una distribución binomial o de Bernouilli si se verifica que:

1º  En cada realización del experimento únicamente son posibles dos sucesos A y A’.

2º El resultado obtenido en cada realización es independiente de los obtenidos anteriormente.

3º La probabilidad del resultado A, y por tanto la de A’, no varía a lo largo del experimento.

4º Si llamamos p a la probabilidad de que se verifique el resultado A y q a la de que se verifique el resultado A’, p + q =1.

Por tanto:

La variable aleatoria que indica el número de caras obtenidas es una distribución binomial de tres pruebas (se realizan tres lanzamientos), dado que:

En cada lanzamiento son posibles solamente dos sucesos: A = (Cara) y A’ = (Cruz)

El resultado de un lanzamiento es independiente de los resultados anteriores.

La probabilidad de que salga cara, P(A) = 0,25 y la que salga cruz P(A’) = 0,75; luego:

0,25 + 0,75 = 1

Función de probabilidad:

b)  Media (μ):

μ = n·p = 3·0,25 = 0,75

Varianza (σ²):

σ² = n·p·q = 3·0,25·0,75 = 0,5625

Desviación típica (σ):

c)  Función de probabilidad de la distribución binomial:

Asiendo n el número de pruebas, k el número de éxitos,robabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso.

d)  {Obtener a lo sumo una cara} = {Obtener como máximo una  cara}

P[X≤1] = P[X=0] + P[X=1] = 0,4219 + 0,4219 = 0,8438

e)  {Obtener al menos una cara} = {Obtener como mínimo una  cara}.

P[X≥1] = 1 – P[X=0] = 1 – 0,4219 = 0,5781

Función de distribución de la variable aleatoria binomial 02

En una urna hay 6 bolas rojas y 4 verdes. Si el experimento consiste en hacer cinco extracciones con devolución, calcular la función de probabilidad y de distribución de la variable “número de bolas verdes”.

Solución:

Número total de bolas = 6 rojas + 4 verdes = 10

Probabilidad extraer una bola verde:

P(V) = 4/10 = 0,4

Cada extracción únicamente admite dos resultados roja o verde.

Extraer una verde es independiente de los otros resultados ya que la extracción es con devolución y su probabilidad es siempre la misma, 0,4.

Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(5; 0,4) de donde tenemos que:

Función de probabilidad:

En este caso: n = 5, p = 0,4 y q = 1 – p = 1 – 0,4 = 0,6

         Función de distribución:

F(x) = 0, si x<0

F(x) = F(0) = 0 + 0,07776 = 0,07776 = P[X≤0], si 0≤x<1

F(x) = F(1) = 0,07776 + 0,2592 = 0,33696 = P[X≤1], si 1≤x<2

F(x) = F(2) = 0,33696  + 0,3456 = 0,68256 = P[X≤2], si 2≤x<3

F(x) = F(3) = 0,68256  + 0,2304 = 0,91296 = P[X≤3], si 3≤x<4

F(x) = F(4) = 0,91296 + 0,0768 = 0,98976 = P[X≤4], si 4≤x<5

F(x) = F(5) = 0,98976 + 0,01024 = 1 = P[X≤5], si 5≤x<6