Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función de probabilidad de la variable aleatoria binomial 03

     

    En un experimento de Bernouilli de cuatro pruebas halla la función de probabilidad de X, si X es la variable aleatoria que nos da el número de veces que ocurre A.

     

     

    Solución:

     

     

     

  • Función de probabilidad de la variable aleatoria binomial 02

     

    Define una variable aleatoria de tipo binomial sobre el experimento de lanzar tres monedas al aire y calcula su función de probabilidad.

     

     

    Solución:

    El espacio muestral consta de 23 elementos y es el siguiente:

    E = {(c, c, c), (c, c, x), (c, x, c), (x, c, c), (c, x, x), (x, c, x),(x, x, c),(x, x, x)}

    La aplicación X que asigna a cada resultado el número de cruces aparecidas es una variable aleatoria de tipo binomial que toma valores en el conjunto {0, 1, 2, 3}.

    Función de probabilidad:

    P[X=0] = 1/8; P[X=1] = 3/8; P[X=2] = 3/8; P[X=3] = 1/8

     

     

     

  • Función de probabilidad de la variable aleatoria binomial 01

     

    Una máquina produce piezas defectuosas en un 10% de los casos. Se revisan, al azar, 500 piezas y se mira si presentan o no alguna anomalía.  

    a)  Razona si la variable aleatoria que cuenta el número de piezas defectuosas corresponde a una distribución binomial y, en caso afirmativo, indica sus parámetros.

    b)  Calcula la probabilidad de que entre las 500 piezas examinadas se encuentren exactamente dos defectuosas.

    c)  Calcula la probabilidad de obtener k piezas defectuosas.

    d)  Halla la función de probabilidad.

     

     

    Solución:

    Se trata de un experimento aleatorio compuesto consistente en la ejecución de 500 experimentos simples, en cada uno de los cuales se mirará el estado de una pieza.

    a)   

    1)    Una pieza puede resultar defectuosa (A) o no defectuosa (A’).

    2)    El resultado de una pieza fabricada es independiente de la calidad de las anteriores.

    3)    La probabilidad de A es siempre la misma: 0,1.

    Por tanto la variable aleatoria X, que cuenta le número de piezas defectuosas en una

    muestra de 500, sigue una distribución binomial con n = 500 y p = 0,1

    b)  Sea la distribución binomial B(n, p):

    FUNC PROB VAB 01,1

    q = 1 – p = 1 – 0,1 = 0,9

    FUNC PROB VAB 01,2

    c)     

    FUNC PROB VAB 01,3 

    para k = 0, 1, 2,…,500.

    d)  Función de probabilidad:

     FUNC PROB VAB 01,4 COPIA

    O, también:FUNC PROB VAB 01,5

     

     

     

  • Esperanza matemática 09

     

    Dos hermanos heredan 1000000 euros cada uno. El mayor ingresa su dinero en un banco, a un tipo de interés anual del 5%. El menor invierte su dinero en un negocio en el que, en el plazo de un año, puede duplicar su capital con probabilidad 0,4; o bien, perder la mitad de lo invertido con probabilidad 0,6. Al final del año comparan sus ganancias. ¿Quién cabe esperar que haya incrementado más su capital?

     

     

    Solución:

    Quien tenga mayor esperanza matemática será el que habrá incrementado más su capital.

    Respecto al hermano mayor la variable aleatoria sólo toma valor 1000000, con probabilidad 0,05, por tanto:

    μ = Σxi·p(xi) = 1000000·0,05 = 50000

    Con relación al hermano menor la variable aleatoria toma valor 2000000 con probabilidad 0,4 y el valor –500000 con probabilidad 0,6; luego:

    μ = Σxi·p(xi) = 2000000·0,4 – 500000·0,6 = 500000

    Por ser mayor su media, el segundo hermano habrá incrementado más su capital.