Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Esperanza matemática 08

     

    Dos jóvenes, A y B, son usuarios habituales de un servicio público de transporte. A siempre paga su billete y B, en cambio, se cuela sin pagar. El viaje cuesta 0,68 euros y el revisor pone una multa de 50 euros cuando detecta un viajero sin billete, lo que ocurre en un 15 % de los casos. ¿Cuál de los dos actúa más inteligentemente?

     

     

    Solución:

    Quien tenga menor esperanza matemática será el que actúe más juiciosamente.

    Respecto a A la variable aleatoria sólo toma valor 0,68 con probabilidad 1, por tanto:

    μ = Σxi·p(xi) = 0,68·1 = 0,68

    Con relación a B la variable aleatoria toma valor 50 con probabilidad 0,15 y el valor 0 con probabilidad 0,85, luego:

    μ = Σxi·p(xi) = 50·0,15 + 0·0,85 = 7,5

    Por ser menor su media, A es el que actúa más inteligentemente.

     

     

     

  • Esperanza matemática 07

     

    Dos hermanos reciben, cada uno, 200 euros diarios. El hermano mayor los guarda y el menor los apuesta a un juego de azar en el que puede ganar 1000 euros con probabilidad 0,1 o perder la apuesta con probabilidad 0,9. ¿Quién actúa más juiciosamente a largo plazo?

     

     

    Solución:

    Quien tenga mayor esperanza matemática será el que actúe más juiciosamente.

    Respecto al hermano mayor la variable aleatoria sólo toma valor 200 con probabilidad 1, por tanto:

    μ = Σxi·p(xi) = 200·1 = 200

    Con relación al menor la variable aleatoria toma valor 1000 con probabilidad 0,1 y el valor 0 con probabilidad 0,9, luego:

    μ = Σxi·p(xi) = 1000·0,1 + 0·0,9 = 100

    Por ser mayor su media, el hermano mayor es el que actúa con mayor juicio.

     

     

     

  • Esperanza matemática 06

     

    Un juego consiste en extraer al azar una carta de una baraja española (40 cartas), de tal manera que se gana 1000 euros si saca un as, 100 euros si obtiene una figura y no se gana nada si se extrae cualquier otra carta.

    a)  El organizador del juego cobra 150 euros por cada extracción. ¿Qué beneficio obtendrá por término medio, en cada una de ellas?

    b)  ¿Cuánto debe cobrar por extracción el organizador si el juego debe ser equitativo?

     

     

    Solución:

    Total de cartas = 4 ases + 12 figuras + 4·6 resto = 40   (1, 2, ….,7, 10, 11, 12)

    Esperanza:

    μ = Σxi·f(xi)

    xi (premios)

    f(xi) = P[X = xi]

    xi·f(xi)

    0

    24/40

    0

    100

    12/40

    1200/40

    1000

    4/40

    4000/40

     

    1

    5200/40

     

    μ = 5200/40 = 130

    a)  Beneficio = 150 – 130 = 20 

    b)  Importe apuesta = 150 – 20 = 130 euros

     

     

  • Esperanza matemática 05

     

    Un juego consiste en lanzar dos dados, de forma que se ganan tantos euros como indique la suma de puntos si ésta es un número primo, o bien, se pierden 5 euros en caso contrario.

    a)  Obtén la función de probabilidad f de la variable aleatoria X que indica la ganancia correspondiente a cada resultado.

    b)  Determina si el juego es equitativo.

     

     

    Solución:

    Tabla de resultados:

    +

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

     

    Números primos = {2, 3, 5, 7, 11}

    Ganancia si el número es primo = 2, 3, 5, 7 u 11 euros.

    Pérdida si el número no es primo = 5 euros.

    a)  Función de probabilidad:

    x

    2

    3

    5

    7

    11

    Otros casos

    f(x) 

    2

    3

    5

    7

    11

    –5

    b)    

    Si μ = 0 el juego es equitativo.

    Si μ < 0 el juego perjudica al jugador.

    Si μ > 0 el juego favorece al jugador.

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    xi

    f(xi)

    xi· f(xi)

    –5

    21/36

    –105/36

    2

    1/36

    2/36

    3

    2/36

    6/36

    5

    4/36

    20/36

    7

    6/36

    42/36

    11

    2/36

    22/36

     

    1

    –13/36

    μ = –13/36 = –0,36

    Como μ < 0 el juego perjudica al jugador y, por tanto, no es equitativo.

     

     

  • Esperanza matemática 04

     

    Un individuo compra una rifa para un sorteo en el cual hay tres premios: el primer premio está dotado con 25000 euros, el segundo con 15000 y el tercero con 10000. La probabilidad del primer premio es 1/5000, la de ganar el segundo premio es 1/3000 y la de ganar el tercero es 1/1000. Sea X la variable aleatoria que indica la ganancia en el sorteo. Calcula la esperanza.

     

     

    Solución:

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    xi (premios)

    f(xi) = P[X = xi]

    xi·f(xi)

    10000

    1/1000

    10

    15000

    1/3000

    5

    25000

    1/5000

    5

     

     

    20

     

    μ = 20