Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 08

     

    Se extraen dos naipes de una baraja de 40 cartas y se anotan el número de reyes obtenidos (0, 1 ó 2).

    a)  ¿Cuál es la distribución de probabilidades?

    b)  Calcula la media y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    a)    

    P(0) = P(R’∩R’) = (36/40)·(35/39) = 1260/1560

    P(1) = P(R∩R’) + P(R’∩R)  = 2·(4/40)·(36/39) = 288/1560

    P(2) = P(R∩R) = (4/40)·(3/39) = 12/1560

    Distribución de probabilidades:

    xi

    0

    1

    2

    pi

    1260/1560

    288/1560

    12/1560

    b)  Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·pi

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·pi – μ2

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS, 02,1

    xi

    pi

    xi·pi

    xi2

    xi2·pi

    0

    1260/1560

    0

    0

    0

    1

    288/1560

    288/1560

    1

    288/1560

    2

    12/1560

    24/1560

    4

    48/1560

     

    1

    312/1560

     

    336/1560

    Según la tabla anterior:

    μ = 312/1560 = 0,2

    PARAMETROS 08

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 07

     

    Sea la variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:

    X

    –25

    –10

    0

    5

    f(x)

    m

    2m

    3m

    4m

    a)  Deduce el valor de m.

    b)  Halla la función de distribución F.

    c)  Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de X.

     

     

    Solución:

    a)     

    xi

    f(xi)

    –25

    m

    –10

    2m

    0

    3m

    5

    4m

     

    1

    Según la tabla anterior:

    m + 2m + 3m + 4m = 1

    10m = 1 → m = 1/10 = 0,1

    x

    –25

    –10

    0

    5

    f(x)

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    b)  Función de distribución:

    Si x<–25:

    F(x) = 0

    Si –25≤x<–10:

    F(x) = F(–25) = 0 + 0,1 = 0,1 = P[X≤–25]

    Si –10≤x<0:

    F(x) = F(–10) = 0,1 + 0,2 = 0,3 = P[X≤–10]

    Si 0≤x<5:

    F(x) = F(0) = 0,3 + 0,3 = 0,6 = P[X≤0]

    Si x≥5:

    F(x) = F(5) = 0,6 + 0,4 = 1 = P[X≤5]

    PARAMETROS 07, 1

    c)  Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·f(xi) – μ2 = Σ(xi – μ)2·f(xi)

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS, 02,1

    xi

    f(xi)

    xi·f(xi)

    xi2

    xi2·f(xi)

    –25

    0,1

    –2,5

    625

    62,5

    –10

    0,2

    –2

    100

    20

    0

    0,3

    0

    0

    0

    5

    0,4

    2

    25

    10

     

    1

    –2,5

     

    92,5

    Según la tabla anterior:

    μ = –2,5

    σ2 = 92,5 – (–2,5)2 = 86,25

    PARAMETROS 07, 2

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 06

     

    Halla la media y la desviación típica de la variable aleatoria “diferencia entre la mayor y la menor puntuación obtenida” correspondiente al experimento de lanzar dos dados.

     

     

    Solución:

    Resultados posibles:

     

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    Según la tabla los valores de xi son: 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

    Tabla de probabilidades:

    xi

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    pi

    6/36

    10/36

    8/36

    6/36

    4/36

    2/36

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·pi

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·pi – μ2

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS, 02,1

    xi

    pi

    pi·xi

    xi2

    pi·xi2

    0

    6/36

    0

    0

    0

    1

    10/36

    10/36

    1

    10/36

    2

    8/36

    16/36

    4

    32/36

    3

    6/36

    18/36

    9

    54/36

    4

    4/36

    16/36

    16

    64/36

    5

    2/36

    10/36

    25

    50/36

     

     

    70/36

     

    210/36

    Según los datos de la tabla:

    μ = 70/36 = 1,94

    σ2 = (210/36) – (70/36)2 = 2,05

    PARAMETROS 06

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 05

     

    Halla la función de probabilidad de una variable aleatoria X sabiendo que sólo toma valores 1, 2 y 3, que su esperanza matemática es 2,1 y que su desviación típica es 0,7.

     

     

    Solución:

    Datos: f(x1) = 1; f(x2) = 2; f(x3) = 3; μ = 2,1; σ = 0,7

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·f(xi) – μ2 = Σ(xi – μ)2·f(xi)

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS 05,1

    xi

    f(xi)

    xi·f(xi)

    xi2

    xi2·f(xi)

    1

    a

    a

    1

    a

    2

    b

    2b

    4

    4b

    3

    c

    3c

    9

    9c

     

    1

    a+2b+3c

     

    a+4b+9c

    Según la tabla anterior:

    a + b + c =1

    a + 2b + 3c = 2,1

    a + 4b + 9c – 2,12 = 0,72 → a + 4b + 9c = 0,72 + 2,12 → a + 4b + 9c = 4,9

    Ahora resolveremos el sistema de ecuaciones anterior:

    PARAMETROS, 05,2

    b + 2·(0,3) = 1,1 → b + 0,6 = 1,1 → b = 1,1 – 0,6 → b = 0,5

    a + 0,5 + 0,3 = 1 → a + 0,8 = 1 → a = 1 – 0,8 → a = 0,2

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 04

     

    En el experimento de lanzar dos dados se considera la variable aleatoria "mínimo de los puntos de las caras superiores". Halla la media, la varianza y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    Resultados posibles:

    (1, 1),…(1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1) = 11

    (2, 2),…(2, 6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2) = 9

    (3, 3),…(3, 6), (4, 3), (5, 3), (6, 3) = 7

    (4, 4),…(4, 6), (5, 4), (6, 4) = 5

    (5, 5), (5, 6), (6, 5) = 3

    (6, 6) = 1

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·pi

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·pi – μ2

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS, 02,1

    Ahora realizaremos la siguiente tabla de acuerdo con los datos que tenemos y con las fórmulas que tenemos que emplear para hallar los parámetros que nos pide el enunciado problema:

    xi

    pi

    pi·xi

    xi2

    pi·xi2

    1

    11/36

    11/36

    1

    11/36

    2

    9/36

    18/36

    4

    36/36

    3

    7/36

    21/36

    9

    63/36

    4

    5/36

    20/36

    16

    80/36

    5

    3/36

    15/36

    25

    75/36

    6

    1/36

    6/36

    36

    36/36

     

     

    91/36

     

    301/36

    Según los datos de la tabla:

    μ = 91/36 = 2,53

    σ2 = (301/36) – (91/36)2 = 1,97

    PARAMETROS, 04