Función de distribución de una variable aleatoria discreta 06

Se lanza simultáneamente una moneda y un dado y se establece la variable aleatoria siguiente:

Si en el lanzamiento la moneda presenta cara, se asigna al resultado el valor de la puntuación del dado más uno.

Si en el lanzamiento la moneda presenta cruz, se asigna al resultado el valor de la puntuación del dado.

Halla la función de probabilidad y la de distribución de esta variable aleatoria. Represéntalas gráficamente.

Solución:

Función de probabilidad:

Representación gráfica:

Función de distribución:

Si x<1:

F(x) = 0

Si 1≤x<2:

F(x) = F(1) = 0 + (1/12) = 1/12 = P[X≤1]

Si 2≤x<3:

F(x) = F(2) = (1/12) + (2/12) = 3/12 = P[X≤2]

Si 3≤x<4:

F(x) = F(3) = (3/12) + (2/12) = 5/12 = P[X≤3]

Si 4≤x<5:

F(x) = F(4) = (5/12) + (2/12) = 7/12= P[X≤4]

Si 5≤x<6:

F(x) = F(5) = (7/12) + (2/12) = 9/12= P[X≤5]

Si 6≤x<7:

F(x) = F(6) = (9/12) + (2/12) = 11/12 = P[X≤6]

Si x≥7:

F(x) = F(7) = (11/2) + (1/12) = 12/12 =1 = P[X≤7]

Representación gráfica:

Función de distribución de una variable aleatoria discreta 05

Sea la siguiente función de distribución de una variable aleatoria:

Calcula:   

a)  P[1<X<3 ]

b)  P[X>3/2]

c)  P[X≤0]

d)  P[–1/2<X≤5/2] 

Solución:

A partir de la función de distribución podemos hallar la función de probabilidad.

P(1) = 1/4

P(2) = (1/2) – (1/4) = (2 – 1)/4 = 1/4

P(3) = 1 – (1/2) = 1/2 = 2/4

a)   

P[1<X<3 ] = (1/4) + (2/4) = 3/4

b)   

P[X>3/2] =1/4

c)   

P[X≤0] = 0

d)   

P[–1/2<X≤5/2] = (1/4) + (1/4) = 2/4 = 1/2

Función de distribución de una variable aleatoria discreta 04

Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

a)  Calcula y representa gráficamente la función de distribución.

b)  Calcula: P[X<4,5], P[X≥3], P[3≤x<4,5].

Solución:

a)  Función de distribución (F):

Si x<0:

P[X≤x] = 0

Si 0≤x<1:

P[X≤x] = P[X=0] = 0,1

Si 1≤x<2:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] = 0,1 + 0,2 = 0,3

Si 2≤x<3:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] = 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4

Si 3≤x<4:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] = 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 = 0,8

Si 4≤x<5:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4]  =

= 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,1 = 0,9

Si x≥5:

P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4] + P[X=5] =

= 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 1

También se puede hacer de la siguiente forma:

Si x<0:

F(x) = 0

Si 0≤x<1:

F(x) = 0 + 0,1 = 0,1

Si 1≤x<2:

F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3

Si 2≤x<3:

F(x) = 0,3 + 0,1 = 0,4

Si 3≤x<4:

F(x) = 0,4 + 0,4 = 0,8

Si 4≤x<5:

F(x) = 0,8 + 0,1 = 0,9

Si x≥5:

F(x) = 0,9 + 0,1 = 1

Representación gráfica:

b)     

P[X<4,5] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4] =

= 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,1 = 0,9

P[X≥3] = P[X=3] + P[X=4] + P[X=5] = 0,4 + 0,1 + 0,1 = 0,6

P[3≤x<4,5] = P[X=4] = 0,1

O, también:

P[3≤x<4,5] = F(4,5) – F(3) = 0,9 – 0,8 = 0,1

Función de distribución de una variable aleatoria discreta 03

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es la definida por la tabla:

a)  Calcula el valor de k.

b)  Halla la función de probabilidad.

c)  Halla la función de distribución.

Solución:

a)  Como los únicos valores que puede tomar la variable aleatoria discreta son: 1, 2, 3 y 4, se debe cumplir que:

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

k + (k/2) + (k/4) + (k/8) =1

8k + 4k + 2k + k = 8

15k = 8 → k = 8/15

b)  Función de probabilidad (f):

c)  Función de distribución (F):

Si x < 1:

P[X≤x] = 0

Si 1≤x<2:

P[X≤x] = P[X=1] = 8/15

Si 2≤x<3:

P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] = (8/15) + (8/30) = (16 + 8)/30 = 24/30

Si 3≤x<4:

P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] = (8/15) + (8/30) + (8/60) = (32+16+8)/60 = 56/60

Si x≥4:

P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4] = (8/15) + (8/30) + (8/60) + (8/120) =

= (64 + 32 + 16 + 8)/120 = 1

Función de distribución de una variable aleatoria discreta 02

Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente función de probabilidad es:

Halla la función de distribución F.

Solución:

Razonando a partir de 0:

Si x<0:

P[X≤x] = 0

Si 0≤x<1:

P[X≤x] = P[X=0] = 1/4

Si 1≤x<2:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] = (1/4) + (1/2) = (1 + 2)/4 = 3/4

Si x≥2:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] = (1/4) + (1/2) + (1/4) = (1 + 2 + 1)/4 = 1

Función de distribución (F):