Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 06

     

    Si la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es:

    FUNC PROB VAD 06, 1

    halla el valor de m.

     

     

    Solución:

    Como:

    f(–2) + f(–1) + f(0) + f(1) + f(2) = 1

    entonces:

    FUNC PROB VAD 06, 2

    (2m/5) + 2m = 1

    2m +10m = 5

    12m = 5

    m = 5/12

     

     

     

  • Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 05

     

    Un juego consiste en sacar una carta de una baraja española (40 cartas):

    Si se obtiene el rey de oros, se ganan 10 puntos.

    Si se obtiene el rey de copas, se ganan 6 puntos.

    Si se obtiene el rey de espadas, se ganan 4 puntos.

    Si se obtiene el rey de bastos, se ganan 3 puntos.

    Si no se obtiene ningún rey, se pierde 1 punto.

    Sea X la variable aleatoria, que indica el número de puntos obtenidos en una jugada. Calcula su función de probabilidad y dibuja el diagrama de barra.

     

     

    Solución:

    Sean los sucesos:

    A = {obtener rey de oros}

    B = {obtener rey de copas}

    C = {obtener rey de espadas}

    D = {obtener rey de bastos}

    F = {no obtener rey}

    Probabilidad de los anteriores sucesos:

    P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/40

    P(F) = 36/40

    Función de probabilidad:

    X

    –1

    3

    4

    6

    10

    f(xi) = P(X = xi)

    36/40

    1/40

    1/40

    1/40

    1/40

    Su gráfica es:

    FUNC PROB VAD 05

     

     

  • Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 04

     

    El espacio de sucesos elementales de un experimento aleatorio es U = {x1, x2, x3}. ¿Cuáles de estas funciones definen una función de probabilidad? Justifica la respuesta.

    a)  P(x1) = 1/2, P(x2) = 1/3, P(x3) = 1/6

    b)  P(x1) = 3/4, P(x2) = 1/4, P(x3) = 1/4

    c)  P(x1) = 1/2, P(x2) = 0, P(x3) = 1/2

    d)  P(x1) = 2/3, P(x2) = 1/3, P(x3) = 2/3

     

     

    Solución:

    a)   

    P(x1) + P(x2) + P(x3) = (1/2) + (1/3) + (1/6) = (3 + 2 + 1)/6 = 6/6 = 1

    Sí define una probabilidad, pues P(x1), P(x2) y P(x3) son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1.

    b)   

    P(x1) + P(x2) + P(x3) = (3/4) + (1/4) + (1/4) = 5/4 > 1

    No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1.

    c)   

    P(x1) + P(x2) + P(x3) = (1/2) + 0 + (1/2) = 2/2 = 1

    Sí define una probabilidad, pues P(x1), P(x2) y P(x3) son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1.

    d)   

    P(x1) + P(x2) + P(x3) = (2/3) + (1/3) + (1/3) = 4/3 > 1

    No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1.

     

     

     

  • Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 03

     

    En el experimento de lanzar tres monedas y asignar a cada resultado el número de caras:

    a)  Calcula la probabilidad de que al realizar el experimento salgan cero, una, dos o tres caras.

    b)  Sus originales, ¿son sucesos elementales? Razona la respuesta.

    c)  Calcula y representa gráficamente la función de probabilidad.

     

     

    Solución:

    a)  El espacio muestral E será:

    E = {(x, x, x), (x, x, c), (x, c, x), (c, x, x), (x, c, c), (c, x, c), (c, c, x), (c, c, c)}

    La probabilidad de cada suceso elemental es 1/8.

    Construyamos la siguiente aplicación:

    X1 (x, x, x) = 0

    X2 (x, x, c) = 1;  X3 (x, c, x) = 1;  X4 (c, x, x) = 1

    X5 (x, c, c) = 2;  X6 (c, x, c) = 2;  X7 (c, c, x) = 2

    X8 (c, c, c) = 1

    De donde obtenemos las siguientes probabilidades:

    P(X=0) = 1/8, P(X=1) = 3/8, P(X=2) = 3/8. P(X=3) = 1/8

    b)  Teniendo en cuenta que los originales son:

    X–1(0) = X1

    X–1(1) = {X2, X3, X4}

    X–1(2) = {X5, X6, X7}

    X–1(3) = X8

    podemos afirmar que no tienen por qué ser sucesos elementales.

    c)  La función de probabilidad será:

    X

    0

    1

    2

    3

    f(xi) = P(X = xi)

    1/8

    3/8

    3/8

    1/8

    Su gráfica es:

    FUNC PROB VAD 03

     

     

     

  • Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 02

     

    Sea el experimento aleatorio consistente en elegir un alumno de un determinado instituto. Sea el espacio muestral E = {los alumnos del instituto}. Consideremos las aplicaciones:

    FUNC PROB VAD 02

    las variables aleatorias X e Y, ¿son continuas o discretas? ¿Por qué?

     

     

    Solución:

    X puede tomar cualquier valor de un cierto intervalo, por tanto es continua.

    Y tiene por imagen el conjunto {0, 1}, por tanto es discreta.