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Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 06
Si la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es:
halla el valor de m.
Solución:
Como:
f(–2) + f(–1) + f(0) + f(1) + f(2) = 1
entonces:
(2m/5) + 2m = 1
2m +10m = 5
12m = 5
m = 5/12
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Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 05
Un juego consiste en sacar una carta de una baraja española (40 cartas):
Si se obtiene el rey de oros, se ganan 10 puntos.
Si se obtiene el rey de copas, se ganan 6 puntos.
Si se obtiene el rey de espadas, se ganan 4 puntos.
Si se obtiene el rey de bastos, se ganan 3 puntos.
Si no se obtiene ningún rey, se pierde 1 punto.
Sea X la variable aleatoria, que indica el número de puntos obtenidos en una jugada. Calcula su función de probabilidad y dibuja el diagrama de barra.
Solución:
Sean los sucesos:
A = {obtener rey de oros}
B = {obtener rey de copas}
C = {obtener rey de espadas}
D = {obtener rey de bastos}
F = {no obtener rey}
Probabilidad de los anteriores sucesos:
P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/40
P(F) = 36/40
Función de probabilidad:
X
–1
3
4
6
10
f(xi) = P(X = xi)
36/40
1/40
1/40
1/40
1/40
Su gráfica es:
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Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 04
El espacio de sucesos elementales de un experimento aleatorio es U = {x1, x2, x3}. ¿Cuáles de estas funciones definen una función de probabilidad? Justifica la respuesta.
a) P(x1) = 1/2, P(x2) = 1/3, P(x3) = 1/6
b) P(x1) = 3/4, P(x2) = 1/4, P(x3) = 1/4
c) P(x1) = 1/2, P(x2) = 0, P(x3) = 1/2
d) P(x1) = 2/3, P(x2) = 1/3, P(x3) = 2/3
Solución:
a)
P(x1) + P(x2) + P(x3) = (1/2) + (1/3) + (1/6) = (3 + 2 + 1)/6 = 6/6 = 1
Sí define una probabilidad, pues P(x1), P(x2) y P(x3) son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1.
b)
P(x1) + P(x2) + P(x3) = (3/4) + (1/4) + (1/4) = 5/4 > 1
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1.
c)
P(x1) + P(x2) + P(x3) = (1/2) + 0 + (1/2) = 2/2 = 1
Sí define una probabilidad, pues P(x1), P(x2) y P(x3) son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1.
d)
P(x1) + P(x2) + P(x3) = (2/3) + (1/3) + (1/3) = 4/3 > 1
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1.
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Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 03
En el experimento de lanzar tres monedas y asignar a cada resultado el número de caras:
a) Calcula la probabilidad de que al realizar el experimento salgan cero, una, dos o tres caras.
b) Sus originales, ¿son sucesos elementales? Razona la respuesta.
c) Calcula y representa gráficamente la función de probabilidad.
Solución:
a) El espacio muestral E será:
E = {(x, x, x), (x, x, c), (x, c, x), (c, x, x), (x, c, c), (c, x, c), (c, c, x), (c, c, c)}
La probabilidad de cada suceso elemental es 1/8.
Construyamos la siguiente aplicación:
X1 (x, x, x) = 0
X2 (x, x, c) = 1; X3 (x, c, x) = 1; X4 (c, x, x) = 1
X5 (x, c, c) = 2; X6 (c, x, c) = 2; X7 (c, c, x) = 2
X8 (c, c, c) = 1
De donde obtenemos las siguientes probabilidades:
P(X=0) = 1/8, P(X=1) = 3/8, P(X=2) = 3/8. P(X=3) = 1/8
b) Teniendo en cuenta que los originales son:
X–1(0) = X1
X–1(1) = {X2, X3, X4}
X–1(2) = {X5, X6, X7}
X–1(3) = X8
podemos afirmar que no tienen por qué ser sucesos elementales.
c) La función de probabilidad será:
X
0
1
2
3
f(xi) = P(X = xi)
1/8
3/8
3/8
1/8
Su gráfica es:
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Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 02
Sea el experimento aleatorio consistente en elegir un alumno de un determinado instituto. Sea el espacio muestral E = {los alumnos del instituto}. Consideremos las aplicaciones:
las variables aleatorias X e Y, ¿son continuas o discretas? ¿Por qué?
Solución:
X puede tomar cualquier valor de un cierto intervalo, por tanto es continua.
Y tiene por imagen el conjunto {0, 1}, por tanto es discreta.
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