Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 06

Si la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es:

halla el valor de m.

Solución:

Como:

f(–2) + f(–1) + f(0) + f(1) + f(2) = 1

entonces:

(2m/5) + 2m = 1

2m +10m = 5

12m = 5

m = 5/12

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 05

Un juego consiste en sacar una carta de una baraja española (40 cartas):

Si se obtiene el rey de oros, se ganan 10 puntos.

Si se obtiene el rey de copas, se ganan 6 puntos.

Si se obtiene el rey de espadas, se ganan 4 puntos.

Si se obtiene el rey de bastos, se ganan 3 puntos.

Si no se obtiene ningún rey, se pierde 1 punto.

Sea X la variable aleatoria, que indica el número de puntos obtenidos en una jugada. Calcula su función de probabilidad y dibuja el diagrama de barra.

Solución:

Sean los sucesos:

A = {obtener rey de oros}

B = {obtener rey de copas}

C = {obtener rey de espadas}

D = {obtener rey de bastos}

F = {no obtener rey}

Probabilidad de los anteriores sucesos:

P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/40

P(F) = 36/40

Función de probabilidad:

Su gráfica es:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 04

El espacio de sucesos elementales de un experimento aleatorio es U = {x₁, x₂, x₃}. ¿Cuáles de estas funciones definen una función de probabilidad? Justifica la respuesta.

a)  P(x₁) = 1/2, P(x₂) = 1/3, P(x₃) = 1/6

b)  P(x₁) = 3/4, P(x₂) = 1/4, P(x₃) = 1/4

c)  P(x₁) = 1/2, P(x₂) = 0, P(x₃) = 1/2

d)  P(x₁) = 2/3, P(x₂) = 1/3, P(x₃) = 2/3

Solución:

a)   

P(x₁) + P(x₂) + P(x₃) = (1/2) + (1/3) + (1/6) = (3 + 2 + 1)/6 = 6/6 = 1

Sí define una probabilidad, pues P(x₁), P(x₂) y P(x₃) son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1.

b)   

P(x₁) + P(x₂) + P(x₃) = (3/4) + (1/4) + (1/4) = 5/4 > 1

No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1.

c)   

P(x₁) + P(x₂) + P(x₃) = (1/2) + 0 + (1/2) = 2/2 = 1

Sí define una probabilidad, pues P(x₁), P(x₂) y P(x₃) son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1.

d)   

P(x₁) + P(x₂) + P(x₃) = (2/3) + (1/3) + (1/3) = 4/3 > 1

No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 03

En el experimento de lanzar tres monedas y asignar a cada resultado el número de caras:

a)  Calcula la probabilidad de que al realizar el experimento salgan cero, una, dos o tres caras.

b)  Sus originales, ¿son sucesos elementales? Razona la respuesta.

c)  Calcula y representa gráficamente la función de probabilidad.

Solución:

a)  El espacio muestral E será:

E = {(x, x, x), (x, x, c), (x, c, x), (c, x, x), (x, c, c), (c, x, c), (c, c, x), (c, c, c)}

La probabilidad de cada suceso elemental es 1/8.

Construyamos la siguiente aplicación:

X₁ (x, x, x) = 0

X₂ (x, x, c) = 1;  X₃ (x, c, x) = 1;  X₄ (c, x, x) = 1

X₅ (x, c, c) = 2;  X₆ (c, x, c) = 2;  X₇ (c, c, x) = 2

X₈ (c, c, c) = 1

De donde obtenemos las siguientes probabilidades:

P(X=0) = 1/8, P(X=1) = 3/8, P(X=2) = 3/8. P(X=3) = 1/8

b)  Teniendo en cuenta que los originales son:

X^–1(0) = X₁

X^–1(1) = {X₂, X₃, X₄}

X^–1(2) = {X₅, X₆, X₇}

X^–1(3) = X₈

podemos afirmar que no tienen por qué ser sucesos elementales.

c)  La función de probabilidad será:

Su gráfica es:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 02

Sea el experimento aleatorio consistente en elegir un alumno de un determinado instituto. Sea el espacio muestral E = {los alumnos del instituto}. Consideremos las aplicaciones:

las variables aleatorias X e Y, ¿son continuas o discretas? ¿Por qué?

Solución:

X puede tomar cualquier valor de un cierto intervalo, por tanto es continua.

Y tiene por imagen el conjunto {0, 1}, por tanto es discreta.