Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de la probabilidad total 01

     

    Dos alumnos A y B se reparten los problemas que les ha propuestos su profesor, de forma que el primero realizará el 45% y el segundo el resto. Por otra parte se sabe que A resuelve de forma errónea un 10% de los problemas que realiza y B un 8%. Calcula la probabilidad de que al elegir el profesor un problema al azar está mal resuelto.

     

     

    Solución:

    Sean los sucesos M = {ejercicio mal resuelto}, N = {ejercicio realizado por A} y Q = {ejercicio realizado por B}

    Según el enunciado del problema:

    P(N) = 0,45; P(Q) = 0,55; P(M/N) = 0,10; P(M/Q) = 0,08

    Teorema de la probabilidad total:

    P(M) = P(N)·P(M/N) + P(Q)·P(M/Q)

    P(M) = 0,45·0,10 + 0,55·0,08 = 0,089

     

     

  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 06

     

    Sean los sucesos A = {una determinada persona A resuelve un determinado problema}  y B = {lo resuelve B}. Se sabe que la probabilidad de que lo resuelvan las dos personas es de 1/6; y, la de que no lo resuelva ninguna de las dos es de 1/3. Sabiendo que la probabilidad de que lo solucione una persona es independiente de que lo resuelva la otra, calcula P(A) y P(B).

     

     

    Solución:

    Datos: P(AB) = 1/6; P(A’B’) = 1/3

    Si P(A) = x, P(B) = y, y como ambos sucesos son independientes, tenemos que:

    P(AB) = P(A)·P(B)

    luego:

     x·y = 1/6

    Por otra parte se tiene que:

    P(A’B’) =  P (AUB)’ = 1 – P(AUB) = 1/3

    P(AUB) = 1 – (1/3) = 2/3

    Pero:

    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB) = x + y – (1/6)

    x + y – (1/6) = 2/3 → x + y = (2/3) + (1/6)

    x + y = 5/6

    Por tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    x·y = 1/6

    x + y = 5/6

    x = (5/6) – y → [(5/6) – y]·y = 1/6

     (5y/6) – y2 = 1/6 → 5y – 6y2 = 1

    6y2 – 5y + 1 = 0

    SUCESOS DEP Y SUC INDP 06

    Primera solución:

    y = 1/2 → x = (5/6) – (1/2) = 1/3

    P(A) = 1/3, P(B) = 1/2

    Segunda solución:

    y = 1/3 → x = (5/6) – (1/3) = 1/2

    P(A) = 1/2, P(B) = 1/3

     

     

     

  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 05

     

    Sea el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española de 40 cartas. Los sucesos M = {extraer oros} y N = {extraer figura}, ¿son independientes? Razona la respuesta.

     

     

    Solución:

    Para que ambos sucesos sean  independientes se debe cumplir que:

    P(M) = P(M/N)

     La baraja posee doce figuras, tres de las cuales son oros, luego:

    P(M) = 10/40 = 1/4

    P(M/N) = P(MN)/P(N) = 3/12 = 1/4

    Como P(M) = P(M/N), los experimentos son independientes.

    También, se puede saber que M y N son independientes si se verifica la siguiente igualdad:

    P(MN) = P(M)·P(N)

    P(MN) = 3/40

    P(M)·P(N) = (10/40)·(12/40) = 120/1600 = 3/40

     

     

     

  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 04

     

    Halla la probabilidad de que al extraer dos bolas de una bolsa, donde hay tres bolas blancas y dos negras, sean de este último color si:

    a)  Si la bola extraída no se devuelve a la bolsa.

    b)  Si la bola extraída se devuelve a la bolsa.

     

     

    Solución:

    Datos: Bolas blancas = 3. Bolas negras = 2. Total de bolas = 5

    a)  Como la bola extraída no se devuelve a la bolsa, las condiciones de la segunda extracción es distinta pues la composición de la bolsa no es la misma (una bola menos), y su resultado se ve afectado por cuál es el elemento del primer suceso, luego los sucesos son dependientes.

    Aplicando el principio de la probabilidad compuesta:

    P(N1N2) = P(N1)·P(N2/N1) = (2/5)·(1/4) = 2/20 = 1/10

    b)  En este caso la composición de la bolsa no se ve alterado por la primera extracción ya  que la bola se devuelve a la bolsa, luego los sucesos son independientes.

    P(N1N2) = P(N1)·P(N2) = (2/5)·(2/5) = 4/25

     

     

     

  • Sucesos dependientes y sucesos independientes 03

     

    Halla la probabilidad de que al extraer dos cartas, sucesivamente, de una baraja de 40 cartas las dos sean copas:

    a)  Si la carta extraída no se devuelve a la baraja.

    b)  Si la carta extraída se devuelve a la baraja.

     

     

    Solución:

    Número de copas = 10;      Número de cartas = 40

    a)  Como la carta extraída no se devuelve a la baraja, las condiciones de la segunda extracción es distinta pues la composición de la baraja no es la misma (una carta menos), y su resultado se ve afectado por cuál es el elemento del primer suceso, luego los sucesos son dependientes.

    Aplicando el principio de la probabilidad compuesta:

    P(C1C2) = P(C1)·P(C2/C1) = (10/40)·(9/39) = (1/4)·(3/13) = 3/52

    b)  En este caso la composición de la baraja no se ve alterado por la primera extracción ya  que la carta se devuelve a la baraja, luego los sucesos son independientes.

    P(C1C2) = P(C1)·P(C2) = (10/40)·(10/40) = (1/4)·(1/4) = 1/16