Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Probabilidad condicionada 02

     

    De una baraja de cuarenta cartas extraemos una carta. Calcula la probabilidad de que:

    a)  Sea una copa.

    b)  Sea un caballo o una copa.

    c)  Si sabemos que es una espada, que sea figura.

    d)  Si ahora extraemos dos cartas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean de oros?

    Nota: Se considera el as como figura.

     

     

    Solución:

    a)  Casos favorables = 10 copas. Casos posibles = 40 naipes

    P(C) = 10/40 =1/4

    b)  Son sucesos compatibles pues existe una carta que es el caballo de copas, por tanto:

    P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

    P(A U B) = (4/40) + (10/40) – (1/40)= 13/40

    c)  Como se trata de un suceso condicionado:

    P(F/E) = P(F ∩ E)/P(E)

    P(F/E) = (4/40)/(10/40) = 4/10 = 2/5

    O, también:

    Como se sabe que la carta elegida es espada, tenemos:

    Casos favorables = 4. Casos posibles = 10, luego:

    P(A/B) = 4/10 = 2/5

    d)  Como la carta extraída no se devuelve a la baraja, las condiciones de la segunda extracción es distinta pues la composición de la baraja no es la misma (una carta menos), y su resultado se ve afectado por cuál es elemento del primer suceso, luego los sucesos son dependientes.

    P(O O) = (10/40)·(9/39) = (1/4)·(3/13) = 3/52

     

      

  • Probabilidad condicionada 01

     

    En un experimento aleatorio se consideran los sucesos M y N de los que se saben que: P(M) = 0,55; P(N) = 0,25 y P(M U N) = 0,55. Calcula la probabilidad de que ocurra el suceso M sabiendo que se ha verificado el suceso N.

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 0,55; P(N) = 0,25; P(M U N) = 0,55

    P(M/N) = P(M∩N)/P(N)

    M es el suceso que sea quiere hallar.

    N es el suceso conocido que condiciona el resultado del suceso M.

    Esta probabilidad cumple todas las propiedades que tiene cualquier probabilidad.

    Para saber cuál es el suceso M y cuál es el suceso N, normalmente se busca una serie de frases que nos indica cada uno de estos sucesos, por ejemplo:

    Calcula la probabilidad de M, conociendo el suceso N.

    Halla la probabilidad de M, dado el suceso N.

    Dado el suceso N, calcula la probabilidad de M.

    Si ocurre N, la probabilidad de que ocurra M.

    También se puede tener en cuenta que M se encuentra en la frase interrogativa y N en la frase afirmativa.

    P(M U N) = P(M) + P(N) – P(M N)

    P(M N) = P(M) + P(N) – P(M U N)

    P(M N) = 0,55 + 0,25 – 0,55 = 0,25

    P(M/N) = 0,25/0,25 = 1

     

     

  • Regla de Laplace 07

     

    En el experimento consistente en lanzar una moneda dos veces, halla:

    a)  El espacio muestral.

    b)  El suceso M = {salga al menos una cara}

    c)  P(M)

    d)  P(M’)

    e)  Probabilidad del suceso N = {salgan dos caras}

    f)   Probabilidad del suceso seguro

    g)  Probabilidad del suceso imposible

     

     

    Solución:

    a)  Si E es el espacio muestral, cara = c y cruz = +:

    E = {(c,c),(c,+),(+,c),(+,+)}

    b)  “Al menos” es lo mismo que “como mínimo”, luego:

    M = {(c,c),(c,+),(+,c)}

    c)  Casos favorables = 3. Casos posibles = 4

    P(M) = 3/4

    d)  Casos favorables = 1. Casos posibles = 4

    P(M’) = 1/4

    O también, como:

    P(M) + P(M’) = 1

    P(M’) = 1 – P(A) = 1 – (3/4) = 1/4

    e)  Casos favorables = 1. Casos posibles = 4

    P(N) = 1/4

    f)   Casos favorables = casos posibles = 4

    P(E) = 4/4 = 1

    g)  Casos favorables = 0. Casos posibles = 4 

    P(Ø) = 0/4 = 0

     

     

      

  • Regla de Laplace 06

     

    En una urna tenemos cinco bolas blancas, tres bolas rojas y cuatro bolas azules. Si se extrae al azar una bola de la urna, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

    a)  Que la bola sea azul.

    b)  Que la bola sea blanca o azul.

    c)  Que la bola sea negra.

     

     

    Solución:

    Casos posibles = 5 bolas blancas + 3 bolas rojas + 4 bolas azules = 12 bolas.

    Regla de Laplace:

    P(S) = número de casos favorables/número de casos posibles

    a)  Casos favorables = 4 bolas azules

    P(A) = 4/12 = 1/3

     

    b)  Casos favorables = 5 bolas blancas + 4 bolas azules = 9 bolas

    P(B U A) = 9/12 = 3/4

    c)  Casos favorables = 0

    P(N) = 0/12 = 0

    Este último caso se trata del suceso imposible.

     

      

  • Regla de Laplace 05

     

    Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de:

    a)  Obtener tres resultados iguales.

    b)  Obtener dos cruces.

     

     

    Solución:

    Espacio muestral:

    E = {(C, C, C), (C, C, +), (C, +, C), (C, +, C), (+, C, C), (+, C, +), (+, +, C), (+, +, +)}

    Regla de Laplace:

    P(S) = número de casos favorables/número de casos posibles

    Según el espacio muestral:

    Número de casos posibles = 8

    a)  Sea el suceso A = {obtener tres resultados iguales}

    Número de casos favorables = 2

    P(A) = 2/8 = 1/4 = 0,25

    b)  Sea el suceso B = {obtener dos cruces}

    Número de casos favorables = 3

    Otra posible forma de resolver este problema es mediante un diagrama de árbol:

    1REGLA DE LAPLACE 05

    a)      

    P(C, C, C) + P(+, +, +) = (1/2)· (1/2)· (1/2) + (1/2)· (1/2)· (1/2)

    P(C, C, C) + P(+, +, +) = (1/8) + (1/8) = 2/8 = 1/4 = 0,25

    b)   

    P(C, +, +) + P(+, +, C) + P(+, C, +) = (1/8) + (1/8) + (1/8) = 3/8