Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Propiedades de la probabilidad 22

      

     Dados dos sucesos M y N, P(M) = P(N) = 1/2 y P(M/N) = 1/4, se verifica que:

    PROPIED PROBAB 22

    Razona si la anterior afirmación es verdadera o falsa.

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = P(N) = 1/2; P(M/N) = 1/4

    Si:

    PROPIED PROBAB 22

    se verifica que:

    MUN = N y MN = M

    luego:

    P(MN) = P(M) = 1/2

    Fórmula de la propiedad condicionada:

    P(M/N) = P(MN)/P(N)

    P(MN) = P(M/N)·P(N)

    Sustituyendo valores:

    P(MN) = (1/4)·(1/2) = 1/8 ≠ 1/2

    Por tanto la afirmación es falsa.

     

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 21

     

    Sean M y N dos sucesos de un experimento aleatorio tales que: P(MUN) = 4/5, P(MN) = 1/2 y P(M’) = 1/5. A partir de estos valores, podemos concluir que:

    a)  P(N) = 1 – P(M)

    b)  P(N) – P(M) = 1

    c)  P(N) = 2/5

    d)  No podemos obtener ninguna conclusión por desconocer M y N

     

     

    Solución:

    Datos: P(MUN) = 4/5; P(MN) = 1/2; P (M’) = 1/5

    Para poder responder a los diferentes apartados necesitamos conocer: P(M) y P(N)

    P(M) + P(M’) = 1

    P(M) = 1 – P(M’) = 1 – (1/5) = 4/5

    Los sucesos M y N son compatibles porque: P(MN) = 1/2

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    (4/5) = (4/5) + P(N) – (1/2)

    P(N) = 1/2

    a)   

    P(N) = 1 – P(M) no se verifica, pues: 1 – P(M) = 1 – (4/5) = 1/5 ≠ 1/2

    b)   

    P(N) – P(M) = 1 no se verifica porque se tendría que:

    P(N) = 1 + P(M) = 1 + (4/5) = 9/5

    y la probabilidad de B sería mayor que 1 y eso no es posible.

    c)  P(N) = 2/5 es falsa pues ya se ha visto que P(N) = 1/2.

    d)  Esta afirmación también falsa ya que sí que se ha podido calcular M y N.

    Por tanto ninguna de las conclusiones es cierta.

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 20

     

    Sean M y N dos sucesos de un experimento aleatorio.

    a)  ¿Es posible que P sea una probabilidad si P(M) = 0,5; P(N) = 0,4  y P(M’N’) = 0,7?

    b)  ¿Y si P(M) = 0,5;  P(N) = 0,4  y P(M’N’) = 0,3?

    En caso afirmativo, hállese:

    i) P(MN)

    ii) P(M – N)

    iii) P(N – M)

     

     

    Solución:

    Antes de contestar a los dos apartados hemos de tener en cuenta la siguiente propiedad:

    La probabilidad de uno de los dos sucesos siempre es menor o igual que la probabilidad de su unión.

    PROPIED PROBAB 20

    (MUN) → P(N) ≤ P(MUN)

    (MUN) → P(M) ≤ P(MUN)

    a)  Datos: P(M) = 0,5; P(N) = 0,4; P(M’N’) = 0,7

    Según las leyes de Morgan:

    M’N’ = (MUN)’

    P(M’N’) = P(MUN)’ = 1 – P(MUN)

    P(MUN) = 1 – P(M’N’)

    P(MUN) = 1 – 0,7 = 0,3

    Como la probabilidad de cualquiera de los dos sucesos es mayor que la probabilidad de su unión, P no es una probabilidad.

    b)  Datos: P(M) = 0,5;  P(N) = 0,4; P(M’N’) = 0,3

    P(MUN) = 1 – 0,3 = 0,7

    En este caso la probabilidad de cualquiera de los dos sucesos es menor que la probabilidad de su unión, por tanto P sí es una probabilidad.

    i)    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MN) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(MN) = 0,5 + 0,4 – 0,7 = 0,2

    ii)

    P(M – N) = P(MN’) = P(M) – P(MN)

    P(M – N) = 0,5 – 0,2 = 0,3

    iii)

    P(N – M) = P(NM’) = P(N) – P(NM)

    P(N – M) = 0,4 – 0,2 = 0,2

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 19

     

    Si M y N son dos sucesos cualesquiera de probabilidad no nula e independiente, razona si son ciertas las siguientes afirmaciones:

    a)  P(M’/N’) = P(M)

    b)  P(MUM’) = 0,5

     

     

    Solución:

    Como M y N son sucesos independientes tenemos que:

    P(MN) = P(M)·P(N)

    a)  Fórmula de la probabilidad condicionada:  

    P(M’/N’) = P(M’N’)/P(N’)

    Según las leyes de Morgan, tenemos que:

    P(M’N’) = P(MUN)’

    P(M’N’) = 1 – P(MUN)

    Sustituyendo en la fórmula de la probabilidad condicionada:

    P(M’/N’) = [1 – P(MUN)]/P(N’)

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(M’/N’) = {1 – [P(M) + P(N) – P(MN)]}/P(N’)

    P(M’/N’) = [1 – P(M) – P(N) + P(MN)]/P(N’)

    Como M y N son independientes:

    P(M’/N’) = [1 – P(M) – P(N) + P(M)·P(N)]/P(N’)

    P(M’/N’) = {[1 – P(N)] – P(M) + P(M)·P(N)}/P(N’)

    P(M’/N’) = [P(N’) – P(M) + P(M)·P(N)/P(N’)

    P(M’/N’) = {P(N’) – P(M)·[1 – P(N)]}/P(N’)

    P(M’/N’) = [P(N’) – P(M)·P(N’)]/P(N’)

    P(M’/N’) = {P(N’)·[1 – P(M)]}/P(N’)

    P(M’/N’) = 1 – P(M)

    P(M) = 1 – P(M)

    2·P(M) = 1

    P(M) = 1/2 = 0,5

    La afirmación es cierta si P(M) = 0,5. En caso contrario no.

    b)  La unión de un suceso con su complementario es el espacio muestral, por tanto la probabilidad de la unión de ambos suceso es 1, luego la afirmación es falsa.

    P(MUM’) = P(M) + P(M’) – P(MM’) = P(M) + 1 – P(M) + 0

    P(MUM’) = 1 ≠ 0,5

    Luego, como ya se ha dicho, la afirmación es falsa.

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 18

     

    Dados dos sucesos independientes M y N, la probabilidad de que ocurran los dos a la vez es 1/6 y que no ocurra ninguno de los dos es 1/3. Calcula P(M) y P(N).

     

     

    Solución:

    Datos: P(MN) = 1/6; P(M’N’) = 1/3

    Como M y N son sucesos independientes tenemos que:

    P(MN) = P(M)·P(N) = 1/6

    Según las leyes de Morgan, tenemos que:

    P(M’N’) = P(MUN)’

    P(M’N’) = 1 – P(MUN)

    1/3 = 1 – P(MUN)

    P(MUN) = 1 – (1/3) = 2/3

    De la probabilidad de la unión de dos sucesos, se tiene que:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(M) + P(N) = P(MUN) + P(MN)

    P(M) + P(N) = (2/3) + (1/6) = 5/6

    Si P(M) = x y P(N) = y, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    x·y = 1/6

    x + y = 5/6

    y = (5/6) – x → x·[(5/6) – x] = 1/6

    (5/6) x – x2 = 1/6

    6x2 – 5x + 1 = 0

    PROPIED PROBAB 18

    Si P(M) = 1/2:

    (1/2)·P(N) = 1/6 → P(N) = 2/6 = 1/3

    Si P(M) = 1/3:

    (1/3)·P(N) = 1/6 → P(N) = 3/6 = 1/2