Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Propiedades de la probabilidad 05

     

    Sean M y N dos sucesos de un experimento aleatorio tales que: P(M) = 2/5, P(N) = 1/3 y P(M’∩N’) = 1/3. Halla: P(MUN) y P(M∩N).

     

     

    Solución:

    Datos: (M) = 2/5; P(N) = 1/3; P(M’∩N’) = 1/3

    Según las leyes de Morgan:

    M’∩N’ = (MUN)’

    luego:

    P(M’N’) = P[(MUN)’] = 1 – P(MUN)

    P(MUN) = 1 – P(M’N’)

    P(MUN) = 1 – (1/3) = 2/3

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MN) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(MN) = (2/5) + (1/3) – P(2/3)

    P(MN) = (2/5) + (–1/3) = 1/15

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 04

     

    Sean M y N dos sucesos de un espacio muestral de los que se sabe que: P(M) = 0,4; P(N) = 0,5 y P(M’N’) = 0,3. Halla: P(MUN) y P(MN).

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = 0,4; P(N) = 0,5; P(M’N’) = 0,3

    Según las leyes de Morgan:

    M’N’ = (MUN)’

    luego:

    P(M’N’) = P[(MUN)’] = 1 – P(MUN)

    0,3 = 1 – P(MUN)

    P(MUN) = 1 – 0,3 = 0,7

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MN) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(MN) = 0,4 + 0,5 – 0,7 = 0,2

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 03

     

    Si M y N son dos sucesos de un experimento aleatorio y P(M) = 0:

    a)  ¿Qué se puede decir de P(MN)?

    b)  ¿Y de P(MUN)?

    c)  Contesta a las mismas preguntas si P(M) = 1.

     

     

    Solución:

    a)  Si P(M) = 0 entonces M = Ø (suceso imposible), luego (MN) = Ø, por tanto:

    P(MN) = 0

    b)  Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MUN) = 0 + P(N) – 0

    P(MUN) = P(N)

    c)  Si P(M) = 1 entonces M (suceso seguro) = E (espacio muestral), luego (MN) = N, por tanto:

    P(MN) = P(N)

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(N)

    P(MUN) = P(M) = 1

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 02

     

    Halla la probabilidad de los sucesos MN, Q’ y QQ’, sabiendo que:

    P(M) = P(N) = 1/4, P(MUN) = 1/16, P(Q) = 1/12

     

     

    Solución:

    Datos: P(M) = P(N) = 1/4; P(MUN) = 1/16; P(Q) = 1/12

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    Despejando P(MN) tenemos que:

    P(MN) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(MN) = (1/4) + (1/4) – (1/16) = 7/16

    Como:

    P(Q) + P(Q’) = 1

    P(Q’) = 1 – P(Q) = 1 – (1/12) = 11/12

    En el último caso debemos tener en cuenta que QQ’ = Ø, luego:

    P(QQ’) = P(Ø) = 0

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 01

     

    La probabilidad de que un alumno haya aprobado Física es 0,40. La de que haya aprobado Química, 0,45. La de que haya aprobado alguna de las dos asignaturas, 0,60. Si escogemos al azar un alumno, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado ambas asignaturas?

     

     

    Solución:

    Datos: P(F) = 0,40; P(Q) = 0,45; P(FUQ) = 0,60

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(F U Q) = P(F) + P(Q) – P(F Q)

    0,60 = 0,40 + 0,45 – P(F Q)

    P(F Q) = 0,85 – 0,60 = 0,25

    La probabilidad de que haya aprobado ambas asignaturas es 0,25.