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Sistema completo de sucesos 01
En una bolsa que hay una bola azul (A), una verde (V) y una blanca (B), se saca una de ellas. Se pide:
a) ¿Son compatibles o incompatibles los sucesos: M = {A, V}, N = {V, B} y Q = {A, B}?
b) ¿Forman M, N y Q un sistema completo de sucesos?
Solución:
a) Dos sucesos o más sucesos son compatibles si pueden verificarse a la vez. En caso contrario, son incompatibles.
Como: M∩N∩Q = Ø, los sucesos son incompatibles.
b) Para que M, N y Q formen un sistema completo de sucesos se debe cumplir:
Primero: Su unión es el espacio muestral.
Segundo: Son incompatibles dos a dos (cualquier pareja que se pueda formar entre ellos es incompatible).
MUNUQ = {A, V}U{V, B}U{A, B} = {A, V, B} = E, luego se cumple.
M∩N = {A, V}∩{V, B} = {V}
M∩Q = {A, V}∩{A, B} = {A}
N∩Q = {V, B}∩{A, B} = {B}
No son incompatibles dos a dos, por lo tanto no forman un sistema completo de sucesos.
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Sucesos compatibles y sucesos incompatibles 03
En el experimento en lanzar un dado se han obtenido los siguientes sucesos: A = {3, 4}, B = {1, 3} y C = {5, 6}. ¿Son compatibles o incompatibles los siguientes sucesos?
a) A y B
b) B y C
Solución:
Dos sucesos son compatibles si pueden verificarse a la vez. En caso contrario, son incompatibles.
a) Si se obtiene un 3, se verifican a la vez A y B (A ∩ B ≠ Ø), luego son sucesos compatibles.
b) B y C no pueden verificarse a la vez (B ∩ C = Ø), por tanto son incompatibles.
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Sucesos compatibles y sucesos incompatibles 02
De una urna, en donde hay una bola roja (R), una azul (A) y otra blanca (B), se saca una bola. ¿Son compatibles o incompatibles los sucesos: X = {R, A}, Y = {A, B} y Z = {R, B}?
Solución:
Dos sucesos o más sucesos son compatibles si pueden verificarse a la vez. En caso contrario, son incompatibles.
Como: X ∩ Y ∩ Z = Ø, los sucesos son incompatibles.
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Sucesos compatibles y sucesos incompatibles 01
En el experimento aleatorio de lanzar un dado perfecto se observa el número que sale. Se pide:
a) Espacio muestral.
b) Los elementos o sucesos elementales del suceso "salir un número par".
c) El suceso seguro.
d) El suceso imposible.
e) Define por extensión el suceso: “sacar un número menor que 4”.
f) Los sucesos "salir un número par" y "ser múltiplo de 3", ¿son compatibles o incompatibles? Razonar la respuesta.
g) El suceso contrario de "salir par".
h) Si al tirar el dado ha salido un 3, ¿se verifican los sucesos?:
A = sacar un número mayor que 4
B = sacar un número impar
i) La unión y la intersección de los sucesos del apartado f).
Solución:
a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) {2}, {4}, {6}
c) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
d) Ø = {7} o cualquier otro número que no pertenezca a E.
e) “Salir un número menor que 4” = {1, 2, 3}
f) "Salir un número par" = {2, 4, 6}, "ser múltiplo de 3" = {3, 6}, son compatibles por tener elementos comunes, el 6.
g) "No salir par" = {1, 3, 5}
h) Se verifican los sucesos tales que 3 sea uno de sus elementos (los números impares). Luego, se verifica el B, pero no el A.
i) "Salir un número par" = A = {2, 4, 6}, "ser múltiplo de 3" = B = {3, 6}:
A U B = {2, 3, 4, 6}
A ∩ B = {6}
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Propiedades de los sucesos 02
Sea el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado y el suceso: A = {2, 3}. Comprueba las propiedades de la complementación de la unión y de la intersección.
Solución:
Espacio muestral:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Propiedad de la complementación de la unión:
A U A’ = E
Propiedad de la complementación de la intersección:
A ∩ A’ = Ø
Complementario de A:
A’ = {1, 4, 5, 6}
Veamos si se cumple la complementación de la unión:
A U A’ = {2, 3} U {1, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E
Sí se cumple.
Ahora la de la complementación de la intersección:
A ∩ A’ = {2, 3} U {1, 4, 5, 6} = Ø
Sí se cumple.
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