Sistema completo de sucesos 01

En una bolsa que hay una bola azul (A), una verde (V) y una blanca (B), se saca una de ellas. Se pide:

a)  ¿Son compatibles o incompatibles los sucesos: M = {A, V}, N = {V, B} y Q = {A, B}?

b)  ¿Forman M, N y Q un sistema completo de sucesos?

Solución:

a)  Dos sucesos o más sucesos son compatibles si pueden verificarse a la vez. En caso contrario, son incompatibles.

Como: M∩N∩Q = Ø, los sucesos son incompatibles.

b)  Para que M, N y Q formen un sistema completo de sucesos se debe cumplir:

Primero: Su unión es el espacio muestral.

Segundo: Son incompatibles dos a dos (cualquier pareja que se pueda formar entre ellos es incompatible).

MUNUQ = {A, V}U{V, B}U{A, B} = {A, V, B} = E, luego se cumple.

M∩N = {A, V}∩{V, B} = {V}

M∩Q = {A, V}∩{A, B} = {A}

N∩Q = {V, B}∩{A, B} = {B}

No son incompatibles dos a dos, por lo tanto no forman un sistema completo de sucesos.

Sucesos compatibles y sucesos incompatibles 03

En el experimento en lanzar un dado se han obtenido los siguientes sucesos: A = {3, 4}, B = {1, 3} y C = {5, 6}. ¿Son compatibles o incompatibles los siguientes sucesos?

a)  A y B

b)  B y C

Solución:

Dos sucesos son compatibles si pueden verificarse a la vez. En caso contrario, son incompatibles.

a)  Si se obtiene un 3, se verifican a la vez A y B (A ∩ B ≠ Ø), luego son sucesos compatibles.

b)  B y C no pueden verificarse a la vez (B ∩ C = Ø), por tanto son incompatibles.

Sucesos compatibles y sucesos incompatibles 02

De una urna, en donde hay una bola roja (R), una azul (A) y otra blanca (B), se saca una bola. ¿Son compatibles o incompatibles los sucesos: X = {R, A}, Y = {A, B} y Z = {R, B}?

Solución:

Dos sucesos o más sucesos son compatibles si pueden verificarse a la vez. En caso contrario, son incompatibles.

Como: X ∩ Y ∩ Z = Ø, los sucesos son incompatibles.

Sucesos compatibles y sucesos incompatibles 01

En el experimento aleatorio de lanzar un dado perfecto se observa el número que sale. Se pide:

a)  Espacio muestral.

b)  Los elementos o sucesos elementales del suceso "salir un número par".

c)  El suceso seguro.

d)  El suceso imposible.

e)  Define por extensión el suceso: “sacar un número menor que 4”.

f)   Los sucesos "salir un número par" y "ser múltiplo de 3", ¿son compatibles o incompatibles? Razonar la respuesta.

g)  El suceso contrario de "salir par".

h)  Si al tirar el dado ha salido un 3, ¿se verifican los sucesos?:

A = sacar un número mayor que 4

B = sacar un número impar

i)    La unión y la intersección de los sucesos del apartado f).

Solución:

a)  E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b)  {2}, {4}, {6}

c)  E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

d)   Ø = {7} o cualquier otro número que no pertenezca a E.

e)  “Salir un número menor que 4” = {1, 2, 3}

f)   "Salir un número par" = {2, 4, 6}, "ser múltiplo de 3" = {3, 6}, son compatibles por tener elementos comunes, el 6.

g)  "No salir par" = {1, 3, 5}

h)  Se verifican los sucesos tales que 3 sea uno de sus elementos (los números impares). Luego, se verifica el B, pero no el A.

i)    "Salir un número par" = A = {2, 4, 6}, "ser múltiplo de 3" = B = {3, 6}:

A U B = {2, 3, 4, 6}

A ∩ B = {6}

Propiedades de los sucesos 02

Sea el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado y el suceso: A = {2, 3}. Comprueba las propiedades de la complementación de la unión y de la intersección.

Solución:

Espacio muestral:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Propiedad de la complementación de la unión:

A U A’ = E

Propiedad de la complementación de la intersección:

A ∩ A’ = Ø

Complementario de A:

A’ = {1, 4, 5, 6}

Veamos si se cumple la complementación de la unión:

A U A’ = {2, 3} U {1, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E

Sí se cumple.

Ahora la de la complementación de la intersección:

 A ∩ A’ = {2, 3} U {1, 4, 5, 6} = Ø

Sí se cumple.