Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Integración de funciones trigonométricas 07

     

    Halla:

    INTG FUNC TRIGONOM 07, 1

     

     

    Solución:

    INTG FUNC TRIGONOM 07, 2

     

     

     

  • Integración de funciones trigonométricas 06

     

    Halla:

    INTG FUNC TRIGONOM 06, 1

     

     

    Solución:

    El cambio que se debe hacer es: t = tg x, por tanto tenemos que poner el seno, el coseno y la diferencial de x en función de t.

    Ecuación fundamental de la trigonometría:

    sen2 x + cos2x = 1

    Dividiendo todos los términos por cos2x:

    INTG FUNC TRIGONOM 06, 2

    Dividiendo la ecuación fundamental por sen2 x:

    INTG FUNC TRIGONOM 06, 3

    Ahora hay que resolver la integral de una función racional con raíces complejas.

    INTG FUNC TRIGONOM 06, 4

    1 = (Mt + N)·(1 + t2) + (Pt + Q)·(1 + 2t2)

    Si t = 0:

    N + Q = 1

    Si t = 1:

    2M + 2N + 3P + 3Q = 1

    Si t = –1:

    –2M + 2N – 3P + 3Q = 1

    Si t = 2:

    10M + 5N + 18P + 9Q = 1

    Resolviendo por Gauss–Jordan:

    INTG FUNC TRIGONOM 06, 5 bis

    Q = –1

    N – 1 = 1 → N = 2

    3P + 1 = 1 → P = 0

    2M + 4 + 0 – 3 = 1 → M = 0

    INTG FUNC TRIGONOM 06, 6

     

     

  • Integración de funciones trigonométricas 05

     

    Resuelve:

    INTG FUNC TRIGONOM 05, 1

     

     

    Solución:

    Si hacemos t = 3 x entonces dt = 3 dx, por tanto:

    INTG FUNC TRIGONOM 05,2

    Ahora efectuaremos un nuevo cambio:

    z = cos t dz = –sen t dt

    INTG FUNC TRIGONOM 05,3

     

     

     

  • Integración de funciones trigonométricas 04

     

    Halla:

    INTG FUNC TRIGONOM 04,1

     

     

    Solución:

    INTG FUNC TRIGONOM 04,2

    La primera integral es inmediata:

    INTG FUNC TRIGONOM 04,3

    La segunda integral es impar en coseno:

    INTG FUNC TRIGONOM 04,4

    La tercera integral también es impar en coseno:

    INTG FUNC TRIGONOM 04,5

    sustituyendo en la integral inicial:

    INTG FUNC TRIGONOM 04,6