Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Integración de funciones irracionales 04

     

    Halla:

    INTG FUNC IRRAC TIPO II 04,1

     

     

    Solución:

    Haciendo x = ctg t, dx = –cosec2 t dt y teniendo en cuenta que:

    ctg2 t + 1 = cosec2 t

    tenemos que:

    INTG FUNC IRRAC TIPO II 04,2

    Como x = ctg t entonces tg t = 1/x, luego:

    INTG FUNC IRRAC TIPO II 04,3

    Por lo tanto:

    INTG FUNC IRRAC TIPO II 04,4

     

     

     

  • Integración de funciones irracionales 03

     

    Resuelve:

    INTG FUNC IRRAC TIPO II 03,1

     

     

    Solución:

    INTG FUNC IRRAC TIPO II 03,2

    La última integral se puede resolver por partes:

    INTG FUNC IRRAC TIPO II 03,3

    Pasando la integral de sec3 t dt al primer miembro:

    INTG FUNC IRRAC TIPO II 03,4

    Ahora hay que deshacer los cambios:

    INTG FUNC IRRAC TIPO II 03,5

     

     


  • Integración de funciones irracionales 02

     

    Calcula:

    INTG FUNC IRRAC TIPO I, 02,1

     

     

    Solución:

    INTG FUNC IRRAC TIPO I, 02,2

    Deshaciendo los cambios:

    t = arc sen (x/2)

    INTG FUNC IRRAC TIPO I, 02,3

     

     

     

  • Integración de funciones irracionales 01

     

    Resuelve la siguiente integral:

    INTGRAL FUNC IRRAC TIPO I 01,1

     

     

    Solución:

    Primero multiplicaremos y dividiremos por 5 el radicando de la raíz.

    INTGRAL FUNC IRRAC TIPO I 01,2

    La integral ya se encuentra preparada para realizar el oportuno cambio.

    INTGRAL FUNC IRRAC TIPO I 01,3

    La última integral se puede resolver por partes o también utilizando la fórmula del coseno del ángulo mitad:

    INTGRAL FUNC IRRAC TIPO I 01,4

    Deshaciendo los cambios:

    INTGRAL FUNC IRRAC TIPO I 01,5

     

     

     

  • Integración de funciones racionales. Denominador con raíces reales y complejas simples 02

     

    Halla:

    INTGRAL DENOMIN RAICES REAL Y COMP SIM 02, 1

     

     

    Solución:

    Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador, hay que simplificar la fracción:

    INTGRAL DENOMIN RAICES REAL Y COMP SIM 02, 2

    x – 1 = A (x2 + x + 1) + (Mx + N) x

    Si x = 0:

    – 1 = A

    Si x = 1:

    0 = 3A + M + N → 0 = 3·(–1) + M + N

    M + N = 3

    Si x = – 1:

    –2 = A + M – N → –2 = –1 + M – N

    M – N = –1 → M = N – 1

    N – 1 + N = 3 → 2N = 4 → N =2 → M = 1

    INTGRAL DENOMIN RAICES REAL Y COMP SIM 02, 3

    Para resolver la última integral haremos lo siguiente:

    x2 + x + 1 = (x + p)2 + q = x2 + 2px + p2 + q

    2p = 1 → p = 1/2

    p2 + q = 1 → (1/2)2 + q = 1 → q = 1 – (1/4) = ¾

    INTGRAL DENOMIN RAICES REAL Y COMP SIM 02, 4