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Integración de funciones racionales. Denominador sin raíces reales 02
Calcula:
Solución:
Primero sacaremos el 3 como factor común para que el coeficiente del término de segundo grado sea 1.
3x2 + x + 1 = 3·[x2 + (1/3)x + (1/3)]
x2 + (1/3)x + (1/3) = (x + p)2 + q = x2 + 2px + p2 + q
Para que ambos polinomios sean iguales, los coeficientes de los términos del mismo grado han de ser iguales, por tanto:
2p = 1/3 → p = 1/6
p2 + q = 1/3 → (1/6)2 + q = 1/3 → (1/36) + q = 1/3 → q = (1/3) – (1/36)
q = 11/36
x2 + (1/3)x + (1/3) = [x + (1/6)]2 + (11/36)
3x2 + x + 1 = 3·{[x + (1/6)]2 + (11/36)}
Esta última integral la resolveremos por sustitución:
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Integración de funciones racionales. Denominador sin raíces reales 01
Halla:
Solución:
Esta integral se puede solucionar “completando el cuadrado” en el denominador de la fracción, operación que se puede realizar de la siguiente forma:
x2 + x +1 = (x + p)2 + q = x2 + 2px + p2 + q
Para que ambos polinomios sean iguales, los coeficientes de los términos del mismo grado han de ser iguales, por tanto:
2 p = 1 → p = 1/2
p2 + q = 1 → (1/4) + q = 1 → q = 3/4
x2 + x +1 = [x + (1/2)]2 + 3/4
La integral dada se puede escribir de la siguiente manera:
Ahora realizaremos la siguiente sustitución:
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Integración de funciones racionales. Denominador con raíces reales simples y múltiples 02
Halla:
Solución:
Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados.
Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales también deben serlo sus numeradores. Por tanto:
x2 + 4x + 4 = A (x – 1)2 + B x + C x (x – 1)
Si x = 0:
4 = A
Si x = 1:
9 = B
Si x = –1:
1 = 4A – B + 2C
Sustituyendo en la anterior expresión los valores encontrados de A y B:
1 = 16 – 9 + 2C → 2C = –6 → C = –3
Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:
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Integración de funciones racionales. Denominador con raíces reales simples y múltiples 01
Halla:
Solución:
Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados.
Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales también deben serlo sus numeradores. Por tanto:
x2 + x + 3 = A(x + 1)2 + B(x – 2) + C(x – 2) (x + 1)
Si x = –1:
3 = –3B → B = –1
Si x = 2:
9 = 9A → A = 1
Si x = 0:
3 = A – 2B – 2C
Sustituyendo en la anterior expresión los valores encontrados de A y B:
3 = 1 + 2 – 2C → C = 0
Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:
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Integración de funciones racionales. Denominador con una raíz real múltiple 02
Calcula:
Solución:
Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados.
Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales, también deben serlo sus numeradores. Por tanto:
2x + 5 = A + B (x + 3) + C (x + 3)2
Si x = –3:
–1 = A
Si x = 0:
5 = A + 3B + 9C
Si x = 1:
7 = A + 4B + 16C
Sustituyendo el valor de A en las dos últimas expresiones:
5 = –1 + 3B + 9C → 3B + 9C = 6 → B + 3C = 2
7 = –1 + 4B + 16C → 4B + 16C = 8 → B + 4C = 2
Despejando B en la primera de las anteriores expresiones:
B = 2 – 3C
Sustituyendo en la segunda:
2 – 2C + 4C = 2 → 2C = 0
B = 2
Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:
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