Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Integración de funciones racionales. Denominador sin raíces reales 02

     

    Calcula:

    INTEGRAL DENOMINADOR SIN RAICES REALES 02,1

     

     

    Solución:

    Primero sacaremos  el 3 como factor común para que el coeficiente del término de segundo grado sea 1.

    3x2 + x + 1 = 3·[x2 + (1/3)x + (1/3)]

    x2 + (1/3)x + (1/3) = (x + p)2 + q = x2 + 2px + p2 + q

    Para que ambos polinomios sean iguales, los coeficientes de los términos del mismo grado han de ser iguales, por tanto:

    2p = 1/3 → p = 1/6

    p2 + q = 1/3 → (1/6)2 + q = 1/3 → (1/36) + q = 1/3 → q = (1/3) – (1/36)

    q = 11/36

    x2 + (1/3)x + (1/3) = [x + (1/6)]2 + (11/36)

    3x2 + x + 1 = 3·{[x + (1/6)]2 + (11/36)}

    INTEGRAL DENOMINADOR SIN RAICES REALES 02,2

    Esta última integral la resolveremos por sustitución:

    INTEGRAL DENOMINADOR SIN RAICES REALES 02,3

     

     

     

  • Integración de funciones racionales. Denominador sin raíces reales 01

     

    Halla:

    INTEGRAL DENOMINADOS SIN RAICES REALES 01, 1

     

     

    Solución:

    Esta integral se puede solucionar “completando el cuadrado” en el denominador de la fracción, operación que se puede realizar de la siguiente forma:

    x2 + x +1 = (x + p)2 + q = x2 + 2px + p2 + q

    Para que ambos polinomios sean iguales, los coeficientes de los términos del mismo grado han de ser iguales, por tanto:

    2 p = 1 p = 1/2

    p2 + q = 1 (1/4) + q = 1 q = 3/4

    x2 + x +1 = [x + (1/2)]2 + 3/4

    La integral dada se puede escribir de la siguiente manera:

     

    INTEGRAL DENOMINADOS SIN RAICES REALES 01, 2

    Ahora realizaremos la siguiente sustitución:

    INTEGRAL DENOMINADOS SIN RAICES REALES 01, 3

     

     

     

  • Integración de funciones racionales. Denominador con raíces reales simples y múltiples 02

     

    Halla:

    INTEGRAL RACIONAL RAIZ SIMPLE Y MULTIPLE 02,1

     

     

    Solución:

    INTEGRAL RACIONAL RAIZ SIMPLE Y MULTIPLE 02,2

    Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados.

    INTEGRAL RACIONAL RAIZ SIMPLE Y MULTIPLE 02,3

    Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales también deben serlo sus numeradores. Por tanto:

    x2 + 4x + 4 = A (x – 1)2 + B x + C x (x – 1)

    Si x = 0:

    4 =  A

    Si x = 1:

    9 = B

    Si x = –1:

    1 = 4A – B + 2C

    Sustituyendo en la anterior expresión los valores encontrados de A y B:

    1 = 16 – 9 + 2C → 2C = –6 → C = –3

    Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:

    INTEGRAL RACIONAL RAIZ SIMPLE Y MULTIPLE 02,4

     

     


  • Integración de funciones racionales. Denominador con raíces reales simples y múltiples 01

     

    Halla:

    RACIONALES DENOMINADOR RAICES SIMPLES Y MULTIPLES 01,1

     

     

     

    Solución:

    Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados.

    RACIONALES DENOMINADOR RAICES SIMPLES Y MULTIPLES 01,2

    Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales también deben serlo sus numeradores. Por tanto:

    x2 + x + 3 = A(x + 1)2 + B(x – 2) + C(x – 2) (x + 1)

    Si x = –1:

    3 =  –3B → B = –1

    Si x = 2:

    9 = 9A → A = 1

    Si x = 0:

    3 = A – 2B – 2C

    Sustituyendo en la anterior expresión los valores encontrados de A y B:

    3 = 1 + 2 – 2C → C = 0

    Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:

    RACIONALES DENOMINADOR RAICES SIMPLES Y MULTIPLES 01,3

     

     


  • Integración de funciones racionales. Denominador con una raíz real múltiple 02

     

    Calcula:

    INTEGRAL DENOMINADOR RAIZ MULTIPLE 02,1

     

     

    Solución:

    Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados.

    INTEGRAL DENOMINADOR RAIZ MULTIPLE 02,2

    Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales, también deben serlo sus numeradores. Por tanto:

    2x + 5 = A + B (x + 3) + C (x + 3)2

    Si x = –3:

    –1 = A

    Si x = 0:

    5 = A + 3B + 9C

    Si x = 1:

    7 = A + 4B + 16C

    Sustituyendo el valor de A en las dos últimas expresiones:

    5 = –1 + 3B + 9C → 3B + 9C = 6 → B + 3C = 2

    7 = –1 + 4B + 16C → 4B + 16C = 8 → B + 4C = 2

    Despejando B en la primera de las anteriores expresiones:

    B = 2 – 3C

    Sustituyendo en la segunda:

    2 – 2C + 4C = 2 → 2C = 0

    B = 2

    Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:

    INTEGRAL DENOMINADOR RAIZ MULTIPLE 02,3