Integración de funciones racionales. Denominador sin raíces reales 02

Calcula:

Solución:

Primero sacaremos  el 3 como factor común para que el coeficiente del término de segundo grado sea 1.

3x² + x + 1 = 3·[x² + (1/3)x + (1/3)]

x² + (1/3)x + (1/3) = (x + p)² + q = x² + 2px + p² + q

Para que ambos polinomios sean iguales, los coeficientes de los términos del mismo grado han de ser iguales, por tanto:

2p = 1/3 → p = 1/6

p² + q = 1/3 → (1/6)² + q = 1/3 → (1/36) + q = 1/3 → q = (1/3) – (1/36)

q = 11/36

x² + (1/3)x + (1/3) = [x + (1/6)]² + (11/36)

3x² + x + 1 = 3·{[x + (1/6)]² + (11/36)}

Esta última integral la resolveremos por sustitución:

Integración de funciones racionales. Denominador sin raíces reales 01

Halla:

Solución:

Esta integral se puede solucionar “completando el cuadrado” en el denominador de la fracción, operación que se puede realizar de la siguiente forma:

x² + x +1 = (x + p)² + q = x² + 2px + p² + q

Para que ambos polinomios sean iguales, los coeficientes de los términos del mismo grado han de ser iguales, por tanto:

2 p = 1 → p = 1/2

p² + q = 1 → (1/4) + q = 1 → q = 3/4

x² + x +1 = [x + (1/2)]² + 3/4

La integral dada se puede escribir de la siguiente manera:

Ahora realizaremos la siguiente sustitución:

Integración de funciones racionales. Denominador con raíces reales simples y múltiples 02

Halla:

Solución:

Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados.

Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales también deben serlo sus numeradores. Por tanto:

x² + 4x + 4 = A (x – 1)² + B x + C x (x – 1)

Si x = 0:

4 =  A

Si x = 1:

9 = B

Si x = –1:

1 = 4A – B + 2C

Sustituyendo en la anterior expresión los valores encontrados de A y B:

1 = 16 – 9 + 2C → 2C = –6 → C = –3

Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:

Integración de funciones racionales. Denominador con raíces reales simples y múltiples 01

Halla:

Solución:

Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados.

Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales también deben serlo sus numeradores. Por tanto:

x² + x + 3 = A(x + 1)² + B(x – 2) + C(x – 2) (x + 1)

Si x = –1:

3 =  –3B → B = –1

Si x = 2:

9 = 9A → A = 1

Si x = 0:

3 = A – 2B – 2C

Sustituyendo en la anterior expresión los valores encontrados de A y B:

3 = 1 + 2 – 2C → C = 0

Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:

Integración de funciones racionales. Denominador con una raíz real múltiple 02

Calcula:

Solución:

Vamos a descomponer la fracción dada en otras más simples con coeficientes indeterminados.

Como la primera y la última de las fracciones anteriores tienen el mismo denominador, para que ambas sean iguales, también deben serlo sus numeradores. Por tanto:

2x + 5 = A + B (x + 3) + C (x + 3)²

Si x = –3:

–1 = A

Si x = 0:

5 = A + 3B + 9C

Si x = 1:

7 = A + 4B + 16C

Sustituyendo el valor de A en las dos últimas expresiones:

5 = –1 + 3B + 9C → 3B + 9C = 6 → B + 3C = 2

7 = –1 + 4B + 16C → 4B + 16C = 8 → B + 4C = 2

Despejando B en la primera de las anteriores expresiones:

B = 2 – 3C

Sustituyendo en la segunda:

2 – 2C + 4C = 2 → 2C = 0

B = 2

Luego la integral dada se puede escribir de la siguiente manera: