Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 12

     

    Demuestra que para todo x perteneciente a ]0, π/2[, sen x < x.

     

     

    Solución:

    Sea la función f(x) = sen x, continua y derivable en todo R.

    Tomemos el intervalo [0, x]. Según Lagrange existe un valor c perteneciente a ]0, x[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 12

    por tanto:

    cos c = (sen x – sen 0)/(x – 0)

    x·cos c = sen x

    Como: 0 < c < π/2, entonces cos 0 > cos c > cos π/2, luego 1 > cos c > 0, por tanto x > x·cox c > 0

    Luego:

    sen x < x

     

     

  • Teorema de Lagrange 11

     

    Sea la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 11,1

    a)  Calcular su derivada.

    b)  Utilizando el Teorema del valor medio de Lagrange, ¿qué puede decirse sobre el crecimiento–decrecimiento de f(x)?

     

     

    Solución:

    a)   

    TEOREMA DE LAGRANGE 11,2

    La igualdad es cierta para todo x, excepto si x = 1, pues en ese punto ni f ni f’ están definidas.

    Luego f’(x) = 0 en ]–∞, 1[ U ]1, +∞[.

    b)  En ]–∞, 1[ → f’(c1) = 0, luego:

    0 = [f(b1) – f(a1)]/(b1 – a1) → f(b1) = f(a1)

    por tanto es una función constante.

    En ]1, +∞[ → f’(c2) = 0, luego:

    0 = [f(b2) – f(a2)]/(b2 – a2) → f(b2) = f(a2)

    luego es una función constante.

     

     


  • Teorema de Lagrange 10

     

    Prueba que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 10,1

     

     

    Solución:

    Sea la función f(x) = xn continua en [a, b] con a > 0 y derivable en ]a, b[, por tanto, según el Teorema de Lagrange, existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Derivada de f(x):

    f'(x) = nx–1

    Por tanto:

    f'(c) = nc–1

    TEOREMA DE LAGRANGE 10,3

    Como a < c < b entonces an – 1 < cn – 1 < bn – 1, luego:

    an – 1 (a – b) < cn – 1 (a – b) < bn – 1 (a – b)

    nan – 1 (a – b) < ncn – 1 (a – b) < nbn – 1 (a – b), ya que n > 1

    Sustituyendo el valor de ncn – 1 (a – b) por bn – an, tenemos que:

    nan – 1 (a – b) < bn – an < nbn – 1 (a – b)

    que es lo que se quería demostrar.

     

     

     

  • Teorema de Lagrange 09

     

    Estudia si es aplicable el teorema del valor medio o Lagrange a la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,1

    en el intervalo [0, 1] y, en caso afirmativo, halla el valor de c al que se refiere el teorema.

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Continuidad:

    La función dada es continua en ]0, 1[ por tratarse de un producto de funciones continuas en dicho intervalo. Falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = 0, en donde la función cambia de expresión.

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,3

    f(0) = 0

    Como:

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,4

    la función es continua en x = 0.

    Derivabilidad:

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,5

    no es derivable en x = 0.

    Pero, para aplicar el teorema del valor medio no hace falta que sea derivable en x = 0, simplemente ha de serlo en ]0,1[.

    f'(x) = ln x + x·(1/x) = ln x + 1

    La derivada de f(x) existe para todo x perteneciente a ]0, 1[

    Luego se puede aplicar el teorema de Lagrange y, por tanto, existe un valor c perteneciente a ]0, 1[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 09,6

    [1·ln 1 – 0]/(1 – 0) = ln c + 1

    ln c + 1 = 0/1 ln c = –1

    c = e–1 = 1/e

     

     

     

  • Teorema de Lagrange 08

     

    Dada la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,1

    ¿Existen m y n tales que  f cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 2]? En caso afirmativo calcula el valor predicho por el teorema.

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Hipótesis:

    Continuidad:

    La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de –1 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Falta, por tanto, estudiar la continuidad en x = –1, en donde la función cambia de expresión.

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,3

    Para que la función sea continua se ha de cumplir que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,4

    Por tanto:

    –m = (1 – n)/2 → –2m = 1 – n → n = 2m + 1

    Derivabilidad:

    Para estudiar la derivabilidad se puede hacer de tres formas distintas:

    1ª forma: (Aplicando la definición)

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,5

    Para que la función sea derivable en x = –1 se debe cumplir que f’(–1) = f’(–1+), por tanto:

    m = –1 → n = 2·(–1) + 1 = –2 + 1 = –1

    Luego, para que la función f(x) cumpla las hipótesis del teorema del valor medio (Lagrange) en el intervalo [–2, 0], m = –1 y n = –1.

    2ª forma:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,6

    m = –1 → n = –2 + 1 = –1

    3ª forma:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,8

    m = –1 y n = –1

    De todo lo anterior tenemos que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,8

    Luego sí existen m y n tales que  f cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 2].

    Tesis:

    TEOREMA DE LAGRANGE 08,9

    Por tanto el valor predicho por el teorema de Lagrange es 1/8.