Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Lagrange 03

     

    Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 1

    en su dominio. Si no se pudiera, ¿dónde se podría?

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Dominio de la función:

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 3

    Calculamos las raíces o soluciones de la ecuación:

    1 – x2 = 0

    x2 = 1

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 4

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 5

    Como el producto ha de ser mayor o igual que cero, o sea, cero o positivo la solución es [–1, 1].

    Por tanto el dominio es:

    D(f) = [–1, 1]

    Continuidad:

    La función dada es continua en todo su dominio.

    Derivabilidad:

    TEOREMA DE LAGRANGE 03, 6

    Como no existen las derivadas en los extremos del dominio la función no es derivable en [–1, 1], por lo tanto no se puede aplicar el teorema de Lagrange en dicho intervalo.

    Sin embargo sí se podría aplicar en ]–1, 1[.

    Todo esto nos aclarar por qué la condición de que la función sea continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, cuando sería más sencillo exigir, simplemente, que fuera derivable en [a, b], lo que conlleva la existencia de derivadas laterales. La respuesta es que existen funciones con tangente vertical, luego no derivables en alguno de los extremos, como en este caso, que no se beneficiarían de este importante teorema.   

     

     

  • Teorema de Lagrange 02

     

    Estudia si es aplicable el teorema del valor medio o de Lagrange a la función f(x) = 4x2 – 5x + 6 en el intervalo [0, 2] y, en caso afirmativo, halla el punto intermedio correspondiente.

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, existe un c perteneciente al intervalo ]a,  b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Continuidad:

    La función f(x) es continua en todo  por tratarse de una función polinómica, por lo tanto, también lo será en [0, 2].

    Derivabilidad:

    f'(x) = 8x – 5

    La función dada es derivable en ]0, 2[. Luego se puede aplicar el Teorema de Lagrange.

    f'(c) = [f(2) – f(0)]/(2 – 0)

    8c – 5 = (12 – 6)/2 → 8c – 5= 3 → c = 1

     

     

  • Teorema de Lagrange 01

     

    ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la función f(x) = |x2 – 4| en [0, 4]? Si es posible, halla el punto intermedio correspondiente.

     

     

    Solución:

    Teorema de Lagrange:

    Si una función f(x) es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[ existe un valor c perteneciente a ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,1

    Podríamos preguntarnos por qué no pedir, únicamente, que la función sea derivable en [a, b] con lo cual  se exigiría la existencia de derivadas laterales, en vez de que f(x) sea continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. La respuesta es que existen funciones con tangente vertical, luego no derivables en alguno de los extremos, que no se beneficiarían de este importante teorema.   

    Nota:

    La tesis del Teorema del valor medio puede no cumplirse si hay algún punto de ]a, b[ en el que la derivada no existe.

    Continuidad:

    Busquemos los intervalos en donde el signo f(x) es positivo o negativo.

    x2 – 4 = 0 → x2 = 4

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,2

    TEOREMA DE LAGRANGE 01, TABLA

    Por tanto:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,3

    Es decir:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,4

    La función dada es continua a la izquierda y a la derecha de –2 y de 2 por tratarse en ambos casos de función polinómica. Quedaría, por tanto, estudiar la continuidad en x = –2 y en x = 2, en donde la función cambia de expresión, pero según el enunciado del problema únicamente hace falta saber la continuidad en [0, 4], luego solamente hace falta averiguar la continuidad en x = 2.

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,5

    Como:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,6

    la función es continua en x = 2.

    Por tanto f(x) es continua en [0, 4]

    Derivabilidad:

    TEOREMA DE LAGRANGE 01,7

    Como las derivadas laterales en x = 2 son diferentes (se trata de un punto anguloso), la función no es derivable en ]0, 4[, luego no se puede aplicar el teorema de Lagrange en [0, 4].

     

     


     

     

     

     

  • Teorema de Cauchy 06

     

    Utilizando el teorema de Cauchy, justifica la desigualdad:

    TEOREMA DE CAUCHY 06,1

     

     

     

    Solución:

    Teorema de Cauchy:

    Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y f(b) ≠ f(a). Entonces, existe, al menos, un punto c Î ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE CAUCHY 01,1

    Sean f(x) = 2x arc tg x y g(x) = ln (1 + x2).

    Las dos funciones son continuas en el intervalo [0, x] y derivables en el intervalo abierto ]0, x[, siendo sus derivadas:

    TEOREMA DE CAUCHY 06,3

     

    Aplicando el teorema de Cauchy:

    TEOREMA DE CAUCHY 06,4

     

     


  • Teorema de Cauchy 05

     

    ¿Se puede aplicar el Teorema de Cauchy a la pareja de funciones f(x2) = x2 y g(x) = x3 en el intervalo [–1, 1]? Explica por qué.

     

     

    Solución:

    Teorema de Cauchy:

    Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y f(b) ≠ f(a). Entonces, existe, al menos, un punto c perteneciente al intervalo ]a, b[ tal que:

    TEOREMA DE CAUCHY 01,1

    En este caso: a = –1 y b = 1.

    f'(x) = 2x → f’(0) = 2

    g’(x) = 3x2 → g’(0) = 0

    No se puede aplicar el Teorema de Cauchy pues ambas derivadas se anulan simultáneamente en x = 0 valor que pertenece a ]–1, 1[.