Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Teorema de Rolle 05

     

    Demuestra que la ecuación 3x – cos x = 1, tiene una única solución real. ¿En qué teoremas te basas?

     

     

    Solución:

    Primero debemos averiguar si existe una solución.

    Sea la función f(x) = 3x – cos x – 1, continua en todo R, por ser diferencia de funciones continuas.

    Busquemos un intervalo en el que la función tome valores de signo contrario en sus extremos. Por ejemplo:

    f(0) = 0 – cos 0 – 1 = –2 < 0

    f(π/2) = (3π/2) – cos (π/2) – 1 > 0

    f(0)·f(π/2) < 0

    Por tanto, según Bolzano, existe un valor c perteneciente a [0, π/2] tal que f(c) = 0, es decir, que la ecuación dada tiene, al menos, una solución, que sería: 3 c – cos c – 1 = 0.

    Teorema de Rolle:

    f'(x) = 3 + sen x es siempre mayor que cero, ya que sen x pertenece a [–1, 1], luego f es estrictamente creciente para todo número real x y posee una única raíz.

    (El único punto donde la función corta al eje OX es en el previsto por Bolzano, que es la única solución de la ecuación dada)

    Para probar que la solución es única, también se puede hacer de la siguiente forma:

    Supongamos que existan dos soluciones x1 y x2 siendo, por ejemplo, x1 < x2. Como f(x) es continua en todo R también lo es en [x1, x2] y es derivable en ]x1, x2[, por diferencia de funciones derivables.

    Al ser x1 y x2 soluciones de la ecuación se cumplirá que: f(x1) = f(x2).

    Por tanto se verifica el teorema de Rolle y existe un valor c perteneciente a ]x1, x2[, tal que f’(c) = 0. O sea:

    f'(c) = 0 → f'(c) = 3 + sen c = 0

    sen c = –3 < –1

    cosa que es un absurdo, por tanto  contradice la hipótesis y no existen dos soluciones.

    Luego sólo existe una raíz, la prevista por Bolzano.

     

     


  • Teorema de Rolle 04

     

    Comprueba que la función f(x) = x3 – 2x2  cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0, 2]. Halla el valor correspondiente a c.

     

     

    Solución:

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c Î ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.

    Esto quiere decir que existe un máximo o un mínimo en el interior de ]a, b[, o también que hay, al menos, un punto interior del intervalo ]a, b[ en el que la tangente a la curva f(x) es horizontal.

    Por tanto las condiciones del teorema son:

    f(x) es continua en [a, b]

    f(x) es derivable en ]a, b[

    f(a) = f(b)

    La función f(x) = x3 – 2x2 es continua en todo R, luego lo es en [0, 2].

    f'(x) = 3x2 – 4x

    La función es derivable en R – {0}, ya que en x = 0 la derivada no está definida, pero como 0 no pertenece a ]0, 2[, también se cumple la segunda condición.

    f(0) = 0

    f(2) = 23 – 2·22 = 0

    Luego:

    f(0) = f(2)

    Por tanto la función cumple el teorema de Rolle.

    Para hallar el valor c predicho por Rolle haremos lo siguiente:

    f'(c) = 0 → 3c2 – 4c = 0

    c·(3c – 4) = 0

    Primera solución:

    c = 0

    Segunda solución:

    3c – 4 = 0 → c = 4/3

    El valor predicho por el teorema de Rolle es c = 4/3 ya que este valor pertenece a ]0, 2[, pues c = 0 no sirve pues no pertenece al intervalo anteriormente citado.

     

     

     

  • Teorema de Rolle 03

     

    Comprueba el teorema de Rolle en la función f(x) = x ln x en el intervalo [a, b] tal que f(a) = f(b) = 0.

     

     

    Solución:

    Si: x ln x = 0, o x = 0, o ln x = 0.

    En el último caso tenemos que:

    ln x = 0 x = e0 = 1

    Por lo tanto:

    f(0) = f(1) = 0 [0, 1]

    Ahora hallaremos f’(x).

    f'(x) = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1

    La función es continua en [0, 1], derivable en ]0, 1[ y f(0) = f(1) luego, según Rolle, existe un c que pertenece a ]0, 1[ tal que f’(c) = 0.

    Por tanto:

    ln c + 1 = 0 ln c = –1 c = e–1 = 1/e

     

     

     

  • Teorema de Rolle 02

     

    Sea f una función polinómica tal que f(0) = f(1) = 0. ¿Se puede asegurar que su derivada cumple f’(x) = 0 para algún x entre 0 y 1? Justifica la respuesta.

     

     

    Solución:

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c perteneciente a ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.

    Por ser f una función polinómica es continua en todo R, luego lo es, también, en [0, 1], pero en el enunciado del problema no dice que sea derivable en ]0, 1[, por tanto no podemos asegurar que f’(x) = 0 para algún x perteneciente a ]0, 1[.

     

     


  • Teorema de Rolle 01

     

    ¿Satisface la función f(x) = 1 – x las condiciones del teorema de Rolle en [–1, 1]? Razona la respuesta.

     

     

    Solución:

    Teorema de Rolle:

    “Si f(x) es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y toma valores iguales en sus extremos, es decir, que f(a) = f(b) existe al menos un punto c Î ]a, b[ tal que f’(c) = 0”.

    Esto quiere decir que existe un máximo o un mínimo en el interior de ]a, b[, o también que hay, al menos, un punto interior del intervalo ]a, b[ en el que la tangente a la curva f(x) es horizontal.

    Por tanto las condiciones del teorema son:

    f(x) es continua en [a, b]

    f(x) es derivable en ]a, b[

    f(a) = f(b)

    La función f(x) = 1 – x es continua en todo R, luego lo es en [–1, 1].

    f(–1) = 1 – (–1) = 2

    f(1) = 1 – 1 = 0

    La función dada no cumple una de las condiciones del teorema de Rolle ya que f(–1) ≠ f(1).