Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función continua y derivable 11

     

    Estudia la continuidad y derivabilidad de la función:

    FUNC CONT Y DERIV 11, 1

     

     

    Solución:

    Como el valor absoluto incluye +(x + 1) y –(x + 1), estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.

    x + 1 = 0 → x = –1

    Vamos a dar dos valores arbitrarios, uno menor y el otro mayor que –1, a x. Por ejemplo: x = –2 que resultará que (x + 1) < 0 y x = 0 que dará que (x + 1) > 0, es decir:

    FUNC CONT Y DERIV 11, 2

    La función se puede expresar:

    FUNC CONT Y DERIV 11, 3

    Continuidad:

    Dominio de la función:

    D(f) = R – {0}

    Por tanto hay que estudiar la continuidad en x = –1 y en x = 0.

    FUNC CONT Y DERIV 11, 4

    La función es continua en x = –1.

    FUNC CONT Y DERIV 11, 5

    En x = 0 existe una discontinuidad de salto infinito.

    Derivabilidad:

    FUNC CONT Y DERIV 11, 6

     

    Como f’(–1) ≠ f’(–1+) la función no es derivable en x = –1, se trata de un punto anguloso.

    La función no es continua en x = 0, por tanto no es derivable en dicho punto.

     

     


  • Función continua y derivable 10

     

    Se considera la función:

    FUNC CONT Y DERIV 10, 1

    Calcula a y b para que f(x) sea continua en todo R. ¿Es derivable la función resultante? Halla f’(x).

     

     

    Solución:

    Continuidad en x = 0:

    FUNC CONT Y DERIV 10, 2

    Para que la función sea continua en x = 0 se debe cumplir que:

    FUNC CONT Y DERIV 10, 3

    por tanto:

    FUNC CONT Y DERIV 10, 4

    Continuidad en x = 2:

    FUNC CONT Y DERIV 10, 5

    Para que la función sea continua en x = 2 se debe cumplir que:

    FUNC CONT Y DERIV 10, 6

    por tanto:

    FUNC CONT Y DERIV 10, 7

    Derivabilidad:

    FUNC CONT Y DERIV 10, 8

    Como f’(0) ≠ f’(0+) la función no es derivable en x = 0.

     

    FUNC CONT Y DERIV 10, 9

    Como f’(2) = f’(2+) la función es derivable en x = 2.

    La función es derivable en R – {0}.

    La función derivada es:

    FUNC CONT Y DERIV 10, 10

     

     


  • Función continua y derivable 09

     

    Determina el valor del parámetro a para que sea derivable la función:

    FUNC CONT Y DERIV 09

     

     

    Solución:

    La función no es continua en x = 1 ya que no existe la imagen para dicho valor de x, por tanto la función no es derivable en x = 1 y no se puede encontrar el valor de a.

     

     


  • Función continua y derivable 08

     

    Estudia la continuidad y derivabilidad de f(x), para todo número real x:

    FUNC CONT Y DERIV 08, 1

     

     

    Solución:

    Continuidad:

    La función dada es continua en x ≠ 0 por estar definida por funciones continuas. Hay que estudiar su comportamiento en x = 0.

    Hallaremos los límites de la función en este punto, teniendo en cuenta que si una función está acotada y otra función tiene límite igual a cero, el límite del producto de ambas funciones es igual a cero.

    FUNC CONT Y DERIV 08, 2

    la función es continua en x = 0.

    Por tanto, f(x) es continua para todo número real x.

    Derivabilidad:

    FUNC CONT Y DERIV 08, 3

    En este caso no hace falta estudiar la derivabilidad por la izquierda y por la derecha de 0, ya que al tratarse del límite cuando x tienda a cero indica que x ≠ 0 y en ambos caso tomaremos la misma función, es decir, f(x) = x2 cos (1/x), con lo que el resultado será el mismo.

    También se pude hacer utilizando la definición de derivada con otra fórmula alternativa, o sea:

    FUNC CONT Y DERIV 08, 4

    Luego f(x) es derivable en todo R.

     

     


  • Función continua y derivable 07

     

    Sea la función:

    FUNC CONT Y DERIV 07, 1

    ¿Es derivable en todo su dominio? Especifica claramente su dominio, el conjunto donde es derivable, y en los puntos donde no sea derivable di si tiene al menos derivadas laterales y cuánto valen.

     

     

    Solución:

    Dominio:

    x2 (1 + x) ≥ 0

    Como el producto ha de ser mayor o igual que cero y x2 siempre lo es, se ha de cumplir que:

    1 + x ≥ 0 → x ≥ –1

    Por tanto:

    Dom (f) = [–1, +∞[

    Derivabilidad:

    FUNC CONT Y DERIV 07, 2

    x2 (1 + x) ≥ 0

    Como el producto ha de ser mayor que cero y x2 siempre lo es, se ha de cumplir que:

    1 + x ≥ 0 → x ≥ –1 y x ≠ 0

    Por tanto la función es derivable en:

    ]–1, 0[U]0, +∞[

    Derivadas laterales:

    FUNC CONT Y DERIV 07, 3

    No existe la derivada x = –1.

    FUNC CONT Y DERIV 07, 4

    luego en x = 0 existen las derivadas por la derecha y por la izquierda pero no la derivada global (no es derivable ya que f’(0) ≠ f’(0+), se trata de un punto anguloso)