Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función continua y derivable 03

     

    Halla los valores de a y b para que la función f sea derivable en todo R.

    FUNC CONT Y DERIV 03, 1

     

     

    Solución:

    Si una función es derivable es también es continua, por tanto empezaremos obligando que sea continua.

    La función dada es continua para todo x ≠ 1 por estar definida por funciones continuas, por tanto para que también lo sea en x =1 se debe cumplir que:

    FUNC CONT Y DERIV 03, 2

    a + b – 1 = 2b → a + b – 2b = 1

    a – b = 1

    Ahora suponiendo que sea continua debemos hacer que sea derivable, por tanto:

    FUNC CONT Y DERIV 03, 3

    Para que las derivadas laterales sean iguales se debe cumplir que: 2a + b = 2 b, o sea, que 2a – b = 0.

    Luego:

    FUNC CONT Y DERIV 03, 4

    a = 1 → 1 – b = –1 → b = 2

    Para que la función f sea derivable en todo , a = 1 y b= 2.

     

     


  • Función continua y derivable 02

     

    Estudia, utilizando las reglas de derivación, la derivabilidad en x0 = 2 de la siguiente función:

    FUNCION CONT Y DERIVA 02, 1

     

     

    Solución:

    Continuidad en x0 = 2:

    FUNCION CONT Y DERIVA 02, 2

    Por tanto, f(x) es continua en x0 = 2.

    Derivabilidad en x0 = 2:

    FUNCION CONT Y DERIVA 02, 3

    Las derivadas laterales existen pero no coinciden, luego f no es derivable en x0 = 2. Se trata de un punto anguloso.

     

     

  • Función continua y derivable 01

     

    Estudia la derivabilidad de la siguiente función en el punto x0 = 1:

    FUNCION CONT Y DERIV 01

     

     

    Solución:

    La función es continua en x0 = 1, pues:

    FUNCION CONT Y DERIV 02

    Una función f(x) es derivable en un punto x0 si, y sólo si, existen y son iguales las dos derivadas laterales en ese punto.

    Derivada por la izquierda en el punto x0 = 1:

    FUNCION CONT Y DERIV 03

    Derivada por la derecha en el punto x0 = 1:

    FUNCION CONT Y DERIV 04

    La función dada  no es derivable en x0 =1, ya que las dos derivadas laterales en dicho punto no son iguales (Se trata de un punto anguloso)

     

     


  • Derivadas laterales 02

     

    Calcula las derivadas laterales de la función:

    DERIVADAS LATERALES 02, 1

     en el punto x0 = 2. ¿Existe f’(2)?

     

     

    Solución:

    Derivada por la izquierda en el punto x0 = 2:

    DERIVADAS LATERALES 02, 2

    Derivada por la derecha en el punto x0 = 2:

    DERIVADAS LATERALES 02, 3

    No existe f’(2) ya que las derivadas laterales no son iguales.

    En x0 = 2, la función presenta un punto anguloso.

     

     


  • Derivadas laterales 01

     

    Halla las derivadas laterales de la función f(x) = |9 – x2|, en el punto x = 3.

     

     

    Solución:

    Como el valor absoluto incluye +(9 – x2) y –(9 – x2) , estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa o la otra, para lo cual, primero calcularemos las raíces o soluciones de la ecuación: 9 – x2

    9 – x2 = 0 → 32 – x2 = 0 → (3 + x)·(3 – x) = 0

    Primera solución:

    3 + x = 0 → x = –3

    Segunda solución:

    3 – x = 0 → x = 3

    Ahora hacemos el siguiente cuadro para averiguar el signo que toma la función a la derecha y a la izquierda de las soluciones:

     

    –∞ < x < –3

    –3 < x < 3

    3 < x <  +∞ 

    Signo de  (3 + x)

    +

    +

    Signo de (3 – x)

    +

    +

    Signo de (3 + x)· (3 – x)

    +

     

    Los signos se han obtenido dando valores arbitrarios a x correspondientes a los distintos intervalos, por ejemplo: –4 (en primer intervalo), 0 (en el segundo intervalo) y 4 (en el tercer intervalo)

    Por tanto, la función se puede expresar de la siguiente forma:

    DERIVADAS LATERALES 01, 1

    Derivada por la izquierda en el punto x = 3:

    DERIVADAS LATERALES 01, 2

    Derivada por la derecha en el punto x = 3:

    DERIVADAS LATERALES 01, 3

    El primer límite es la pendiente de la semitangente a la curva a la izquierda de x = 3.

    El segundo límite es la pendiente de la semitangente a la curva a la derecha de x = 3.