Teorema de los valores intermedios (Darboux) 02

Sea la función:

¿La función puede alcanzar el valor 3?

Solución:

Teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux:

Si una función f es continua en [a, b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).

Es decir, cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a) y f(b), existe un número c, a < c < b, tal que f(c) = k.

Estudiemos la continuidad de la función para lo cual averiguaremos si existe algún valor de x que anule el denominador de la fracción.

3 + cos x = 0 → cos x = –3

Para que se anule el denominador de la fracción el coseno de x ha de ser igual a –3, cosa que es imposible ya que cos x pertenece a [–1, 1], luego f(x) es continua en todo R.

Busquemos un intervalo en donde las imágenes de sus extremos incluyan el valor 3.

f(0) = 7/(3 + cos 0) = 7/4

f(π) = 7/(3 + cos π) = 7/2

Como f es continua en todo R  lo es en [0, π], por tanto, según el teorema de los valores intermedios, la función recorre todo valor interior de (7/4, 7/2) y por tanto alcanza el valor 3.

Este problema también se puede resolver aplicando el teorema de Bolzano:

Sea la función:

e impongamos la condición que se anula en [0, π].

F(x) es continua en [0, π], pues el denominador de la fracción nunca se anula ya que ya que cos x pertenece a [–1, 1], luego como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (0, π) tal que F(c) = 0.

Por tanto:

Teorema de los valores intermedios (Darboux) 01

Sea la función f(x) = x³ + 2x – 10. Comprueba que existe un valor c perteneciente al intervalo (0, 4) tal que f(c) = 14.

Solución:

Teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux:

Si una función f es continua en [a, b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).

Es decir, cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a) y f(b), existe un número c, a < c < b, tal que f(c) = k.

La función f(x) es continua en todo R por ser función polinómica.

Además:

f(0) = –10

f(4) = 64 + 8 – 10 = 62

Según el teorema de los valores intermedios, como 14 está comprendido entre f(0) y f(4), existirá un número c perteneciente a (0, 4) tal que f(c) = 14.

Teorema de Bolzano 15

Dada la función f(x) = x³ + x² – cos πx, demuestra que existe un valor x = a positivo y menor que 2, que verifica f(a) = 3. Obtener dicho valor x = a con aproximación de una décima.

Solución:

Sea la función F(x) = f(x) – 3.

Tanteando tenemos que:

F(0) = 0 + 0 – cos 0 – 3 = –4 < 0

F(2) = 8 + 4 – cos 2π – 3 = 8 > 0

F(x) es continua en [0, 2], por ser suma de funciones continuas en dicho intervalo.

Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número a perteneciente a (0, 2) tal que F(a) = 0.

Por tanto:

F(a) = 0 → f(a) – 3 = 0 → f(a) = 3

f(1) = 1 + 1 – cos π = 3 → a = 1

Teorema de Bolzano 14

Demuestra que x⁷ + 3x + 3 = 0 tiene una única raíz real.

Solución:

Sea la función f(x) = x⁷ + 3x + 3.

El enunciado del problema equivale a demostrar que f(x) se anula una sola vez en un punto de (a, b).

La función f (x) es continua en todo R, por ser una función polinómica.

f(–1) = (–1)⁷ + 3·(–1) + 3 = –1 < 0

f(0) = 3 > 0

Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (–1, 0) tal que f(c) = 0.

Veamos si c es la única solución.

Derivando la función f(x), tenemos:

f’(x) = 3x² + 3

Como f’(x) es siempre positiva para todo x perteneciente a R, f(x) es siempre creciente en todo R, luego la única vez que corta al eje OX es en el punto predicho por Bolzano, por tanto la raíz  o solución es única.

Teorema de Bolzano 13

Demuestra que todo número real positivo a, tiene una raíz cuadrada.

Solución:

Sean la función F(x) = x² – a y el intervalo [0, a + 1].

Como f es continua en todo R, ya que se trata de una función polinómica, también lo será en el intervalo [0, a + 1].

F(0) = 0 – a < 0

F(1 + a) = (1 + a)² – a = 1 + 2 a + a² – a = 1 + a + a² > 0

Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (0, a + 1) tal que f(c) = 0.

Por tanto: