Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Bolzano 03

     

    La función:

    TEOREMA DE BOLZANO 03

    toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [2, 4]. ¿Se anula en algún punto del intervalo (2, 4)?

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la continuidad de la función dada en el intervalo [2, 4].

    Veamos si en el denominador de la fracción se anula para algún valor de dicho intervalo.

    x – 3 = 0 → x = 3 pertenece a [2, 4]

    Como la función dada no es continua en el intervalo [2, 4], no se cumple el teorema de Bolzano y, por tanto, no se puede asegurar que la función dada se anula en algún punto de dicho intervalo; pero esto no quiere decir que no pueda existir algún punto de dicho intervalo en donde sí anula.

    Ahora bien, en este caso f(x) no puede ser igual a cero ya que, evidentemente, su gráfica es una hipérbola que no corta al eje X, por ser éste un eje de la misma (es una asíntota horizontal).

    O también: 7/(x-3) = 0 → 7 = 0 cosa que imposible.

     

     


  • Teorema de Bolzano 02

     

    Demuestra que πx = e tiene al menos una solución en (0, 1)

     

     

    Solución:

    El enunciado del problema equivale a demostrar que f(x) = πx – e se anula por lo menos en un punto de (0, 1).

     

    f(x) es continua en todo R, por ser suma de funciones continuas en R (función seno y función exponencial), por tanto lo será en [0, 1].

     

    f(0) = π0 – e = 1 – e < 0

     

    f(1) = π1 – e > 0

     

    Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (0, 1) tal que f(c) = 0.

     

     


  • Teorema de Bolzano 01

     

    Dada la función:

    TEOREMA BOLZANO 01, 1

    a)  Representa la función.

    b)  ¿Se cumple el teorema de Bolzano en el intervalo [–1, 1]?

     

     

    Solución:

    a)  La función dada también se puede expresar de la siguiente forma:

    TEOREMA BOLZANO 01, 2

     

    Representación gráfica:

    TEOREMA BOLZANO 01, 3bis

    b)  Teorema de Bolzano:

    Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)·f(b) < 0 (toma valores de signo contrario en sus extremos), entonces existe un número c perteneciente a  ]a, b[ tal que f(c) = 0.

    Por tanto, como la función dada no está definida en x = 0 no es continua en [–1, 1], luego no se puede aplicar el teorema de Bolzano.