Teorema de Bolzano 08

Prueba que las gráficas de las funciones f(x) = ln x y g(x) = e^–x se cortan en algún punto y localízalo aproximadamente.

Solución:

Las gráficas de la funciones f(x) y g(x) se cortan si f(x) = g(x), es decir, que ln x = e^–x, o sea, que: ln x – e^–x = 0

Sea la función F(x) = ln x – e^–x y tomemos, por ejemplo, el intervalo [1, 2].

F(1) = ln 1 – e^–1 = 0 – (1/e) < 0

F(2) = ln 2 – e^–2 = ln 2 – (1/e²) > 0

La función F(x) es continua en [1, 2], por serlo también f y g, luego como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (1, 2) tal que F(c) = 0.

Por tanto:

F(c) = 0 → ln x – e^–x = 0 → ln x = e^–x

Como las gráficas se cortan para x = c, podemos asegurar que ambas funciones se cortan en un punto entre 1 y 2.

Tomemos, por ejemplo, c = 1,5:

F(1,5) = ln 1,5 – e^–1,5 > 0

Como el resultado es positivo el valor de c se encuentra entre 1 y 1,5.

F(1,25) = ln 1,25 – e^–1,25 < 0

Ahora el resultado es negativo, luego el valor de c se encuentra entre 1,25 y 1,5.

F(1,3) = ln 1,35 – e^–1,3 < 0

Como el resultado es negativo el valor de c se encuentra entre 1,3 y 1,5.

F(1,31) = ln 1,31 – e^–1,31 > 0

Ahora el resultado es positivo, luego el valor de c se encuentra entre 1,3 y 1,31.

Podríamos seguir estudiando el comportamiento del signo de las soluciones, para ir acotando el resultado, ya que éste se encontrará entre dos valores que den a la función resultados de distinto signo.

Por tanto podemos decir que el valor de c, en donde las gráficas se cortan, está entre 1,3 y 1,31.

Teorema de Bolzano 07

Prueba que las gráficas de las funciones f(x) = 3^x y g(x) = 1/x se cortan en algún punto.

Solución:      

Las gráficas de la funciones f(x) y g(x) se cortan si f(x) = g(x), es decir, que 3^x = 1/x, o sea, que 3^x – (1/x) = 0

Sea la función F(x) = 3^x – (1/x), que es continua en todo R menos en 0, ya que en x = 0 la función g(x) no es continua.

Tanteando tenemos que:

F(1) = 3¹ – (1/1) = 3 – 1 = 2 >0

Según el teorema de Bolzano existe un número c perteneciente a (1/2, 1) tal que F(c) = 0.

Luego las gráficas se cortan para x = c.

Teorema de Bolzano 06

Demuestra que si f es continua en [0, 1] y 0 < f(x) < 1, entonces existe un x₀ perteneciente a [0,1] tal que f(x₀) = x₀.

Solución:

Sea la función: F(x) = f(x) – x

F(x) es continua en [0, 1] por ser suma de funciones continuas en dicho intervalo.

F(0) = f(0) – 0 > 0 ya que f(x) > 0

F(1) = f(1) – 1 < 0 ya que f(x) < 1

Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número cÎ(0, 1) tal que F(x₀) = 0

Por tanto:

F(x₀) = 0 → f(x₀) – x₀ = 0 → f(x₀) = x₀

Teorema de Bolzano 05

Demuestra que existe un número real x tal que: sen x = x – 2.

Solución:

Sea la función F(x) = sen x – x + 2

F(x) es continua en todo R, por ser suma de funciones continuas en R (función seno y función polinómica).

Tanteando tenemos que:

F(0) = sen 0 – 0 + 2 = 2 > 0

F(π) = sen π – π + 2 < 0

Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número x pertenecienta a (0, p) tal que F(x) = 0.

Por tanto:

F(x) = 0 → sen x – x + 2 = 0 → sex = x – 2

Teorema de Bolzano 04

Dadas las funciones:

demuestra que existe un punto c perteneciente a ]0, 1[ tal que f(c) = g(c).

Solución:

Sea la función:

Como f y g son funciones continuas en R  (el denominador de la fracción nunca se hace cero), también lo es F(x).

Tanteando tenemos que:

F(0) = (1/1) – 0 = 1 > 0

F(1) = [1/(1 +1)] – 1 = (1/2) – 1 < 0

Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número cÎ(a, b) tal que F(c) = 0.

Por tanto: