Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Límite de una función real. Aplicaciones 03

     

    La calificación f(x) obtenida por un estudiante en cierto examen depende de las horas x de preparación a través de la función:

    APLICACIONES LIMITES 03, 1

    a)  Representa su gráfica.

    b)  ¿Tiene sentido afirmar que a más tiempo de preparación corresponde más calificación? Razónalo.

    c)  Contesta razonablemente si hay algún punto en que estudiar un poco más puede ser rentable.

    d)  ¿Se puede obtener la calificación 10? Justifica la respuesta.

     

     

    Solución:

    a)  Para representa la gráfica en el intervalo [0, 15] tenemos suficiente con dos puntos, ya que al ser una función lineal se trata de una recta.

     

    x = 0 → y = 0

     

    x = 15 → y = 3

     

    Para el estudio de la función si x > 15 primero expresaremos la fracción como suma de un entero y una fracción, ya que el numerador es del mismo grado que el del denominador.

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 2

     

    Estamos ante una rama de una hipérbola cuya asíntota horizontal es y = 10.

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 3

     

    Gráfica de la función:

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 4

     

    b)  Aunque, según la gráfica, cuanto más tiempo de preparación se invierta se consigue más calificación, veamos si tiene sentido esta afirmación.

    Supongamos que se pueda invertir un tiempo infinito:

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 5

     

    Resultado lógico ya que como se ha dicho y = 10 es la asíntota horizontal.

    Luego no tiene sentido afirmar que a más tiempo de preparación corresponde más calificación, pues a partir de 90 horas el resultado que se obtiene es muy pequeño y, además, nunca se conseguirá obtener un 10.

    c)  En “un poco más” que 15.

     

    APLICACIONES LIMITES 03, 6

     

    Si se estudia algo más de 15 horas se pasa de obtener una calificación de 3 a 6.

    d)  La calificación igual a 10 no se puede obtener, pues, como ya se ha comentado anteriormente, y = 10 es una asíntota horizontal, luego la gráfica se aproximará a ella tanto como se quiera pero no llegará a tocarla (tampoco se debe olvidar que el límite de la función cuando x tiende a infinito es 10).

     

     


  • Límite de una función real. Aplicaciones 02

     

    El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la función:

     

    APLICACIONES LIMITES 02, 1

    donde x se mide en años transcurridos desde x = 0.

    Halla:

    a)  Tamaño de la población inicial.

    b)  El tamaño de la población a largo plazo.

     

     

    Solución:

    a)  Dato: x = 0

     

    APLICACIONES LIMITES 02, 2

     

    El tamaño de la población inicial es de 15 millones de individuos.

     

    b)  Suponiendo que la función fuese válida indefinidamente:

     

    APLICACIONES LIMITES 02, 3

     

    A largo plazo el tamaño de la población es de un millón individuos.

     

     


  • Límite de una función real. Aplicaciones 01

     

    Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos años, por la función:

    APLICACIONES LIMITES 01, 1

    siendo x el número de años transcurridos.

    Se pide:

    a)  Tamaño de la población actual.

    b)  Número de individuos dentro de 5 años y dentro de 10. ¿Cómo evoluciona en esos 5 años?

    c)  ¿Pueden llegar a tener 1000 individuos?

    d)  Si la función fuese válida indefinidamente, ¿hacia qué tamaño de población tendería?

     

     

    Solución:

    a)  Dato: x = 0

     

    APLICACIONES LIMITES 01, 2

    La población actual es de 2000 individuos.

    b)  Datos: x1 = 5 años y x2 = 10 años

    APLICACIONES LIMITES 01, 3

     

    La población no sufre variación(es evidente), es decir, permanece constante.

    c)  No, pues la población, como ya hemos visto en el apartado anterior, no sufre variación con el paso del tiempo y el número de individuos siempre se mantiene en dos mil.

    d) 

    APLICACIONES LIMITES 01, 4

    Como ya se ha dicho en los apartados anteriores, la población permanece estable.

     

     


  • Límites infinitos 04

     

    Calcula:LIMITES INFINITOS 04, 1

     

     

    Solución:

    LIMITES INFINITOS 04, 2 

    LIMITES INFINITOS 04, 3 

     

     

     

  • Límites infinitos 03

     

    Sea:

    LIMITES INFINITOS 03, 1

    Calcula:

    LIMITES INFINITOS 03, 2

     

     

    Solución:

    a)  

    LIMITES INFINITOS 03, 3 

    b)

    LIMITES INFINITOS 03, 4