Aplicación del número e al cálculo de límites de sucesiones 02

Calcula el límite de la siguiente sucesión:

Solución:

Para hallar el límite de esta sucesión, primero resolveremos el límite de la base y después el del exponente.

Se trata de una indeterminación.

Aplicando la siguiente fórmula:

Por tanto:

Aplicación del número e al cálculo de límites de sucesiones 01

Calcula los siguientes límites:

Solución:

a)  Para hallar el límite de esta sucesión, primero resolveremos el límite de la base y después el del exponente.

Se trata de una indeterminación.

Para resolver esta indeterminación debemos tener en cuenta que:

Es interesante observar que en la anterior expresión tenemos el límite de una potencia, donde la base es la suma de la unidad y una fracción cuyo numerador es 1, y el denominador coincide con el exponente de la potencia.

Por lo tanto:

b) 

Indeterminación.

c) 

Indeterminación.

Aplicando la siguiente fórmula:

También se puede resolver mediante la siguiente forma, aunque de manera más laboriosa:

d) 

Indeterminación.

La parábola 04

Halla el vértice, foco, eje y la directriz de la parábola de ecuación y² – 4y + 4x + 16 = 0.

Solución:

Ecuación de la parábola:

(y – b)² = –2p (x – a)

siendo (a, b) las coordenadas del vértice.

Con la ecuación de la parábola dada en el enunciado del haremos la siguiente transformación, con el fin de expresarla de la forma anterior:

y² – 4y = (y + p)² + q

y² – 4y = y² + 2 p y + p² + q

–4 = 2p → p = –4/2 = –2

p² + q = 0 → (–2)² + q = 0

4 + q = 0 → q = –4

y² – 4y = (y – 2)² – 4

Sustituyendo en la ecuación inicial:

(y – 2)² – 4 + 4x + 16 = 0

(y – 2)² + 4x + 12 = 0

(y – 2)² = –4x – 12

(y – 2)² = –4 (x + 3)

Comparando con la expresión inicial:

a = –3,         b = 2,          p = 2

Por tanto:

Coordenadas del vértice:

V(–3, 2)

Coordenadas del foco:

F(–3 – (p/2), 2) = (–4, 2)

Eje:

y = 2 (recta horizontal)

Directriz:

x = –3 + (p/2) → x = –2 (recta vertical)

La parábola 03

Halla la ecuación de una parábola cuyo foco es el punto (3, 2) y cuyo vértice es el punto (3, 5).

Solución:

Se trata de una parábola de eje vertical, cuyo vértice está por encima del foco y cuya ecuación es:

(x – a)² = –2p(y – b)

Siendo (a, b) las coordenadas del vértice.

p/2 = distancia (FV) = (5 – 2) = 3 → p = 6

Ecuación de la parábola:

 (x – 3)² = –12·(y – 5)

La parábola 02

Halla el foco, el vértice y la directriz de la parábola de ecuación: y² = 9x.

Solución:

Ecuación de la parábola: y² = 2px

Coordenadas del foco: F(p/2, 0)

Comparando la ecuación de la parábola con la dada en el enunciado del problema:

2p = 9 → p = 9/2 → F(9/4, 0)

Coordenadas del vértice:

x = 0, y = 0

V(0, 0)

Ecuación de la directriz: x = –p/2

x = –9/4