Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La hipérbola 01

     

    Halla la ecuación reducida de la hipérbola cuyo eje no transverso (2b) mide 2 cm. Y cuya distancia focal es de 6 cm.

     

     

    Solución:

    Ecuación reducida de la hipérbola:

    HIPERBOLA 01, 1

    HIPERBOLA 01, 2

    2b = 2 cm → b = 2 cm/2 = 1 cm

    2c = 6 cm → c = 6 cm/2 = 3 cm

    Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de la figura:

    a2 + b2 = c2 → a2 = c2 – b2 → a2 = 32 – 12 = 8

    HIPERBOLA 01, 3

     

     

     


  • La elipse 09

     

    Dada la curva 16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 0 determinar si se trata de una cónica. En caso afirmativo decir de qué cónica se trata, y hallar todos sus elementos (centro, vértices, focos, ejes, asíntotas, directriz, excentricidad,…). En caso negativo decir qué figura geométrica (cónica degenerada) representa la ecuación.

     

     

    Solución:

    La gráfica de la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 es una sección cónica o una cónica degenerativa. Si la gráfica es una cónica entonces se trata de:

    1)  Una parábola si el discriminante B2 – 4AC = 0.

    2)  Una elipse si el discriminante B2 – 4AC < 0.

    3)  Una hipérbola si el discriminante B2 – 4AC > 0.

    Según la ecuación de la curva: 16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 0, tenemos que:

    A = 16, B = 0 y C = 9

    Como el discriminante 02 – 4·16·9 < 0, tenemos una elipse o una elipse degenerada.

    Agruparemos los términos:

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y)

    y2 – 4y = (y + p)2 + q

    y2 – 4y = y2 + 2 p y + p2 + q

    –4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2

    p2 + q = 0 ⇒ (–2)2 + q = 0

    4 + q = 0 ⇒ q = –4

    y2 + 2y = (y + 1)2 – 1

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y) = 9·[(y – 2)2 – 4] = 9·(y – 2)2 – 36

    Sustituyendo en la ecuación inicial:

    16x2 + 9y2 – 36y – 108 = 16x2 + 9·(y – 2)2 – 36 – 108 = 0

    16x2 + 9·(y – 2)2 – 144 = 0

    16x2 + 9·(y – 2)2 = 144

    ELIPSE 09,1

    Se trata de una elipse de eje principal paralelo al OY.

    Elementos:

    ELIPSE 09,2

    Comparando con la ecuación de la elipse:

    ELIPSE 09,3

    tenemos que:

    Centro:

    (x0, y0) = (0, 2)

     Vértices:

    A(0 + x0, a + y0) = (0+0, 4 + 2) = (0, 6)

    A’(0 + x0, a’ + y0) = (0+0, –4 + 2) = (0, –2)

    B(b + x0, 0 + y0) = (3+0, 0 + 2) = (3, 2)

    B’(b’ + x0, 0 + y0) = (–3+0, 0 + 2) = (–3, 2)

    Focos:

    ELIPSE 09, 4

    Excentricidad:

    ELIPSE 09, 5

     

     


  • La elipse 08

     

    Demuestra que la elipse:

    ELIPSE 08, 1

    y la recta:

    ELIPSE 08, 2

    son tangentes.

     

     

    Solución:

    Si son tangentes deben tener un único punto de contacto, es decir, el sistema formado por ambas ecuaciones tiene solamente una solución.

    ELIPSE 08, 3

    Las coordenadas del punto de contacto son:

    ELIPSE 08, 4

     

     

  • La elipse 07

     

    Dada la curva 16x2 + 9y2 + 32x – 36y + 52 = 0 determinar si se trata de una cónica. En caso afirmativo decir de qué cónica se trata, y hallar todos sus elementos (centro, vértices, focos, ejes, asíntotas, directriz, excentricidad,….). En caso negativo decir qué figura geométrica (cónica degenerada) representa la ecuación.

     

     

    Solución:

    La gráfica de la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 es una sección cónica o una cónica degenerativa. Si la gráfica es una cónica entonces se trata de:

    1)  Una parábola si el discriminante B2 – 4AC = 0.

    2)  Una elipse si el discriminante B2 – 4AC < 0.

    3)  Una hipérbola si el discriminante B2 – 4AC > 0.

    Según la ecuación de la curva: 16x2 + 9y2 + 32x – 36y + 52 = 0, tenemos que:

    A = 16, B = 0 y C = 9

    Como el discriminante 02 – 4·16·9 < 0, tenemos una elipse o una elipse degenerada.

    Agruparemos los términos:

    16x2 + 32x = 16·(x2 + 2x)

    x2 + 2x = (x + p)2 + q

    Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, obtenemos:

    x2 + 2x = x2 + 2 p x + p2 + q

    Si ambos polinomios son iguales los coeficientes de los términos del mismo grado también lo son, es decir:

    2 = 2p ⇒ p = 1

    p2 + q = 0 ⇒ 12 + q = 0

    q = –1

    Por tanto:

    16x2 + 32x = 16·(x2 + 2x) = 16·[(x + 1)2 – 1] = 16·(x + 1)2 – 16

    Ahora realizaremos el mismo proceso con los términos que poseen la incógnita y:

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y)

    y2 – 4y = (y + p)2 + q

    y2 – 4y = y2 + 2 p y + p2 + q

    –4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2

    p2 + q = 0 ⇒ (–2)2 + q = 0

    4 + q = 0 ⇒ q = –4

    y2 + 2y = (y + 1)2 – 1

    9y2 – 36y = 9·(y2 – 4y) = 9·[(y – 2)2 – 4] = 9·(y – 2)2 – 36

    Sustituyendo en la ecuación inicial:

    16x2 + 9y2 + 32x – 36y + 52 = 16·(x + 1)2 – 16 + 9·(y – 2)2 – 36 + 52 = 0

    16·(x + 1)2 + 9·(y – 2)2 = 0

    ELIPSE 07, 1

    Se trata de una elipse degenerada a un punto; los dos sumandos son positivos o nulos así que para dar 0 tienen que ser los dos cero, es decir: x = –1 e y = 2.

    Por tanto se trata del punto (–1, 2).

    Para ser una elipse en el segundo miembro debería haber un uno en vez de un cero, ya que la ecuación de una elipse es:

    ELIPSE 07, 2

     

     


  • La elipse 06

     

    La órbita que describe la Tierra en su giro alrededor del Sol es una elipse de excentricidad: 0,0167 y semieje mayor: 149.630.000 km. Halla la ecuación de la elipse descrita por su órbita.

     

     

    Solución:

    Datos: e = 0,0167; a = 149.630.000 km

    Ecuación de la elipse:

    ELIPSE 01, 1

    Excentricidad:

    e = c/a

    c = e·a = 0,0167·149.630.000 km = 2.498.821 km

    ELIPSE 01, 4

    Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos de la figura anterior:

    c2 = a2 – b2 ⇒ b2 = a2 – c2

    b2 = 149.630.0002 – 2.498.8212 = 2,238·1016

    ELIPSE 06