La elipse 01

Deduce, de forma razonada, la ecuación reducida de la elipse:

Solución:

Según la definición de elipse se debe cumplir:

a²·[(x – c)² + y²] = a⁴ – 2a²xc + x²c²

a²·(x² – 2xc + c² + y²) = a⁴ – 2a²xc + x²c²

a²x² – 2 a²xc + a²c² + a²y² = a⁴ – 2a²xc + x²c²

a²x² + a²c² + a²y² = a⁴ + x²c²

a²x² – x²c² + a²y² = a⁴ – a²c²

(a² – c²)·x² + a²y² = (a² – c²)·a²

Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos de la figura anterior:

b² = a² – c²

Sustituyendo:

b²x² + a²y² = b²a²

Dividiendo por b²a² cada uno de los términos de la anterior expresión:

(Según la definición de elipse: r’ + r = 2 a, pero, en este caso, r’ = r, luego r’ = r = a)

La circunferencia 10

Dada la circunferencia de ecuación C: x² + y² – 4x + 2y = 0, se pide:

a)  Calcula el centro y el radio.

b)  Hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto P(4, 0).

c)  Encuentra la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con C y es tangente a la recta de ecuación: 2x – y + 2 = 0.

Solución:

a)  Pasaremos a forma reducida la ecuación general de la circunferencia, haciendo cuadrados:

x² – 4x = (x + p)² + q

Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, obtenemos:

x² – 4x = x² + 2 p x + p² + q

Si ambos polinomios son iguales los coeficientes de los términos del mismo grado también lo son, es decir:

–4 = 2p ⇒ p = –4/2 = –2

p² + q = 0 ⇒ (–2)² + q = 0

4 + q = 0 ⇒ q = –4

Por tanto:

x² – 4x = (x – 2)² – 4

Haciendo lo mismo con los términos que poseen la incógnita y:

y² + 2y = (y + p)² + q

y² + 2y = y² + 2 p y + p² + q

2 = 2p ⇒ p = 2/2 = 1

p² + q = 0 ⇒ 1² + q = 0

1 + q = 0 ⇒ q = –1

y² + 2y = (y + 1)² – 1

Sustituyendo en la ecuación inicial:

(x – 2)² – 4 + (y + 1)² – 1 = 0

(x – 2)² + (y + 1)² = 5

Hemos obtenido la circunferencia de centro (2, –1) y radio:

b)  De los infinitos radios que posee la circunferencia, uno de ellos es perpendicular a la recta tangente a ella en el punto P(4, 0).

Pendiente de la recta que contiene a dicho radio:

m = (0 + 1)/(4 – 2) = 1/2

Pendiente de la recta tangente:

m’ = –1/m = –2

Ecuación punto pendiente de la recta tangente:

y – y₀ = m (x – x₀)

y – 0 = –2·(x – 4)

Ecuación general:

y = –2x + 8

2x + y – 8 = 0

c)  Ecuación de la circunferencia concéntrica a C:

x² + y² – 4x + 2y + F = 0

Por ser tangente la recta: 2x – y + 2 = 0 tendrá un punto de contacto con la circunferencia buscada, por tanto el siguiente sistema deberá tener una solución:

x² + (2x + 2)² – 4x + 2·(2x + 2) + F = 0

x² + 4x² + 8x + 4 – 4x + 4x + 4 + F = 0

5x² + 8x + 8 + F = 0

Como la ecuación anterior únicamente ha de tener una solución, se debe cumplir que el discriminante de la ecuación de segundo grado ha de ser igual a cero, es decir:

b² – 4ac = 0

8² – 4·5·(8 + F) = 0

64 – 160 – 20F = 0

–20F = –96

F = 96/20 = 24/5

Ecuación general de la recta concéntrica a C:

x² + y² – 4x + 2y + (24/5) = 0

La circunferencia 09

Si una circunferencia es tangente a los dos ejes de coordenadas, ¿dónde está su centro?

Solución:

Si una circunferencia es tangente a los dos ejes de coordenadas su centro se encuentra  en la bisectriz de cualquiera de los cuadrantes, ya que sus coordenadas, en valor absoluto, son iguales. Por ejemplo:

La circunferencia 08

Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(1, –4) que es tangente al eje de ordenadas. ¿Cuáles son los puntos de corte con el eje de abscisas?

Solución:

Ecuación de la circunferencia:

(x – 1)² + (y + 4)² = 1²

Según la figura la circunferencia no corta al eje X, ya que su radio es igual a 1. Veamos si es cierto.

Si cortara al eje X, pasaría por el punto (x, 0).

Sustituyendo en la ecuación:

(x – 1)² + (0 + 4)² = 1 ⇒ x² – 2x + 1 + 16 – 1 = 0

x² – 2x + 16 = 0

La ecuación no tiene solución, por tanto como ya habíamos adelantado la circunferencia no corta al eje X.

Inecuaciones con fracciones algebraicas y una incógnita 04

Resuelve la siguiente inecuación:

[2x/(x – 1)] > [x/(x + 7)]

Solución:

Primero operaremos la inecuación hasta transformarla en una única fracción.

[2x/(x – 1)] > [x/(x + 7)]

[2x/(x – 1)] – [x/(x + 7)] > 0

El m. c. m de los denominadores es (x – 1)·(x + 7)

[2x(x+7)/(x – 1)(x + 7)] – [x(x – 1)/(x – 1)(x + 7)] > 0

[(2x² + 14x)/(x – 1)(x + 7)] – [(x² – x)/(x – 1)(x + 7)] > 0

(2x² + 14x – x² + x)/(x – 1)(x + 7)] > 0

(x² + 15x)/(x – 1)(x + 7)] > 0

x(x + 15)/(x – 1)(x + 7)] > 0

Se calculan las raíces o soluciones del numerador y del denominador de la fracción:

 x = 0; x + 15 = 0 ⇒ x = –15; x – 1 = 0 ⇒ x = 1; x + 7 = 0 ⇒ x = –7

Ahora, en la siguiente tabla, se estudia el signo de cada uno de los factores y el de la fracción dando un valor arbitrario a x según el intervalo que se está estudiando, por ejemplo: en el primer intervalo se puede hacer x = –16, luego el resultado para la primera columna es negativo, para la segunda también (–16 + 15), los mismo ocurre para x – 1 (–16 – 1) y también para x + 7 (–16 + 7). Así se hace con todas las columnas.

El signo del cociente (fracción) es positivo si el número de signos negativo es par y negativo si es impar.

Por tanto, como la fracción ha de ser mayor que cero, las soluciones se encuentran en los intervalos cuyo cociente tiene signo positivo.