Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La circunferencia 05

     

    Halla la ecuación de la circunferencia en la que un diámetro tiene por extremos los puntos: A(–1, 5) y B(7, –3).

     

     

    Solución:

    Datos: A(–1, 5); B(7, –3).

    Ecuación canónica de la circunferencia de radio r y centro (a, b):

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2

    Para poder expresar la ecuación de la circunferencia necesitamos saber las coordenadas del centro y la longitud del radio.

    CIRCUNFERENCIA 05, 1

    El centro de la circunferencia es el punto medio del segmento AB.

    a = (–1 + 7)/2 = 3

    b = (5 – 3)/2 = 1

    C(3, 1)

    El radio de la circunferencia es igual a la distancia que existe entre el centro y uno de los dos puntos dados. Por ejemplo el punto A.

    CIRCUNFERENCIA 05, 2

    Ecuación de la circunferencia:

    (x – 3)2 + (y – 1)2 = 32     

     

     


  • La circunferencia 04

     

    Averigua cuáles de las ecuaciones siguientes representan circunferencias y en caso afirmativo halla sus elementos:

    a)

      x2 + y2 – 2x + 6y – 4 = 0

    b)  

      x2 + y2 – 1 = 0

    c)

      x2 + y2 + 1 = 0

    d)  

      x2 + y2 – 2x = 0

    e)

      x2 + y2 – 2x + 4y + 6 = 0

    f)  

      36(x2 + y2) + 36x + 24y = 23

    g)

      x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0

    h)  

      3x2 + 3y2 + 6x – 2y – 5 = 0

     

     

    Solución:               

    Sea la ecuación de segundo grado: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, para que represente una circunferencia se debe cumplir que:

    CIRCUNFERENCIA 04, 1

    a)    

    x2 + y2 – 2x + 6y – 4 = 0

    A = B = 1, C = 0 y (–2)2 + 62 – 4·(–4) > 0

    Luego es una circunferencia.

    Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

    –2a = D ⇒ –2a = –2 ⇒ a = –2/(–2) = 1

    –2b = E ⇒ –2b = 6 ⇒ b = 6/(–2) = –3

    (1, –3)

    Radio de la circunferencia:

    CIRCUNFERENCIA 04, 2

    También se puede hacer de la siguiente forma:

    x2 – 2x = (x + p)2 + q

    Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, obtenemos:

    x2 – 2x = x2 + 2 p x + p2 + q

    Si ambos polinomios son iguales los coeficientes de los términos del mismo grado también lo son, es decir:

    –2 = 2p ⇒ p = –2/2 = –1

    p2 + q = 0 ⇒ (–1)2 + q = 0

    1 + q = 0 ⇒ q = –1

    Por tanto:

    x2 – 2x = (x – 1)2 – 1

    Haciendo lo mismo con los términos que poseen la incógnita y:

    y2 + 6y = (y + p)2 + q

    y2 + 6y = y2 + 2 p y + p2 + q

    6 = 2p ⇒ p = 6/2 = 3

    p2 + q = 0 ⇒ 32 + q = 0

    9 + q = 0 ⇒ q = –9

    y2 + 6y = (y + 3)2 – 9

    Sustituyendo en la ecuación inicial:

    (x – 1)2 – 1 + (y + 3)2 – 9 – 4 = 0

    (x – 1)2 + (y + 3)2 = 14

    Hemos obtenido la circunferencia de centro (1, –3) y radio:

    CIRCUNFERENCIA 04, 3

    b)

    x2 + y2 – 1 = 0 ⇒ x2 + y2 = 1

    Centro = (0, 0), r = 1, luego es una circunferencia.

    c)

    x2 + y2 + 1 = 0 ⇒ x2 + y2 = –1

    En este caso r = –1, cosa que no puede ser, luego la ecuación dada no es una circunferencia.

    d)

    x2 + y2 – 2x = 0

    A = B = 1, C = 0 y (–2)2 > 0, luego es una circunferencia.     

    Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

    –2a = D ⇒ –2a = –2 ⇒ a = –2/(–2) = 1

    –2b = E ⇒ –2b = 0 ⇒ b = 0/(–2) = 0

    (1, 0)

    Radio de la circunferencia:

    CIRCUNFERENCIA 04, 4

    e)      

    x2 + y2 – 2x + 4y + 6 = 0

                       A = B = 1, C = 0 y (–2)2 + 42 – 4·6 < 0, luego no es una circunferencia.

    f)

    36(x2 + y2) + 36x + 24y = 23

    Dividiendo todos los términos de la ecuación por 36, tenemos que:

    x2 + y2 + x + (24/36)y – (23/26) = 0

                       A = B = 1, C = 0 y 12 + (24/36)2 – 4· (–23/26) > 0, luego es una circunferencia.

    Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

    –2a = D ⇒ –2a = 1 ⇒ a = –1/2

    –2b = E ⇒ –2b = 24/36 ⇒ b = 24/(–72) = –1/3

    (–1/2, –1/3)

    Radio de la circunferencia:

    CIRCUNFERENCIA 04, 5

    g)

    x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0

                       A = B = 1, C = 0 y (–4)2 + 62 – 4·9 > 0, luego es una circunferencia.

    Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

    –2a = D ⇒ –2a = –4 ⇒ a = –4/(–2) = 2

    –2b = E ⇒ –2b = 6 ⇒ b = 6/(–2) = –3

    (2, –3)

    Radio de la circunferencia:

    CIRCUNFERENCIA 04, 6

    h)

    3x2 + 3y2 + 6x – 2y – 5 = 0 ⇒ x2 + y2 + 2x – (2/3)y – (5/3) = 0

                  A = B = 1, C = 0 y 22 + (–2/3)2 – 4·(–5/3) > 0, luego es una circunferencia.

    Coordenadas del centro de la circunferencia (a, b):

    –2a = 2 ⇒ –2a = 2 ⇒ a = 2/(–2) = –1

    –2b = E ⇒ –2b = –2/3 ⇒ b = –2/(–6) = 1/3

    (–1, 1/3)

    Radio de la circunferencia:

    CIRCUNFERENCIA 04, 7

     

     

     

  • La circunferencia 03

     

    Halla las ecuaciones canónicas y general de la circunferencia de centro C(1, –2) y radio igual a uno.

     

     

    Solución:

    Ecuación canónica de la circunferencia de radio r y centro (a, b):

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2

    En este caso: a = 1, b = –2 y r = 1, por tanto:

    (x – 1)2 + (y + 2)2 = 1

    Desarrollando la anterior expresión:

    x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4 – 1 = 0

    Ecuación general:

    x2 + y2 – 2x + 4 y + 4 = 0

     

     


  • La circunferencia 02

     

    Halla el centro y radio de la circunferencia de ecuación:

    (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16

     

     

    Solución:

    Teniendo en cuenta la ecuación canónica de la circunferencia de radio r y centro (a, b):

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2

    tenemos que:

    a = 3 y b = –2

    CIRCUNFERENCIA 02

    luego:

    Centro (3, –2), radio = 4

     

     

  • La circunferencia 01

     

    Halla las ecuaciones canónica y general de la circunferencia de centro (a, b) y radio r.

     

     

    Solución:

    CIRCUNFERENCIA 01

    Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de la figura se obtiene la ecuación canónica de la circunferencia:

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2

    Desarrollando la anterior expresión:

    x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0

    Si hacemos: –2a = D, –2b = E y a2 + b2 – r2 = F, se obtiene la ecuación general de la circunferencia:

    x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0