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Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 03
Sean A, B y C los puntos de corte del plano x + 5y – z = 5 con los ejes de coordenadas. Calcula el volumen del tetraedro que tiene por base el triángulo ABC y por vértice el punto (3, –1, 1).
Solución:
Volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D:
Coordenadas del punto A:
Si A es el punto de corte del plano con el eje X, entonces: y = z = 0, por tanto:
x + 5·0 – 0 = 5 ⇒ x = 5
A(5, 0, 0)
Coordenadas del punto B:
Si B es el punto de corte del plano con el eje Y, entonces: x = z = 0, por tanto:
0 + 5y – 0 = 5 ⇒ y = 1
B(0, 1, 0)
Coordenadas del punto C:
Si C es el punto de corte del plano con el eje Z, entonces: x = y = 0, por tanto:
0 + 5·0 – z = 5 ⇒ z = –5
C(0, 0, –5)
Coordenadas del punto D:
Si el punto D es el vértice del tetraedro sus coordenadas son:
D(3, –1, 1)
Volumen del tetraedro:
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Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 02
Sea p el plano de ecuación: x + 2y + 3z = 5. Si Q(1, 1, 1) es el centro de un cubo que tiene una de sus caras sobre el plano p, halla el volumen del cubo.
Solución:
Volumen del cubo:
V = L3
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Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 01
Un tetraedro tiene tres vértices en el plano OXY: A(2, 1, 0), B(3, 4, 0), C(–5, 10, 0) y el cuarto vértice D sobre la recta:
Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6u3.
Solución:
El problema se puede resolver de dos formas diferentes.
Primera forma:
El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D:
Como el vértice D se encuentra sobre la recta r sus coordenadas serán:
D(1 – µ, 2 + µ, 3 + µ)
Aplicando la fórmula:
Desarrollando por los elementos de la tercera columna, tenemos:
= –(3 + µ)·[(8 + 30 – 5) – (–20 + 3 + 20)] =
= –(3 + µ)·(33 – 3) = –30·(3 + µ)
|(1/6)·[ –30·(3 + µ)]| = 6
Primera solución:
–5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/(–5)
µ = (–6/5) – 3 = –21/5
Por tanto:
D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]
D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]
Segunda solución:
–5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = 6/5
µ = (6/5) – 3 = –9/5
Luego:
D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]
D[(14/5), (1/5), (6/5)]
Segunda forma:
El volumen del tetraedro de aristas los vectores AB, AC y AD vale:
Coordenadas del vector AB:
AB = (1, 3, 0)
Coordenadas del vector AC:
AC = (–7, 9, 0)
Coordenadas del vector AD:
AD = (1 – µ – 2 , 2 + µ – 1, 3 + µ – 0)
AD = (–1 – µ , 1 + µ, 3 + µ)
= (3 + µ)·(9 + 21) = 30·(3 + µ)
(1/6)|30·(3 + µ)| = 6
Primera solución:
5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/5
µ = (6/5) – 3 = –9/5
Por tanto:
D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]
D[(14/5), (1/5), (6/5)]
Segunda solución:
5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = –6/5
µ = (–6/5) – 3 = –21/5
Luego:
D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]
D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]
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Área de un paralelogramo 02
Sabiendo que dos lados de un cuadrado están en las rectas:
halla el área del cuadrado.
Solución:
Primero tenemos que averiguar si los lados contenidos por las rectas r y s son los paralelos o los perpendiculares, para lo cual necesitamos conocer los vectores directores de ambas rectas.
Vector director de r: u = (1, 2, 1).
Para hallar el vector director de la segunda recta, primero la pasaremos a paramétricas.
x = –3 + µ ⇒ –(–3 + µ) + y = –2 + µ
3 – µ + y = –2 + µ ⇒ y = –5 + 2µ
Como ambas rectas tienen el mismo vector director son paralelas.
Área del cuadrado:
A = d2siendo d las distancia que existe entre ambas rectas, que, por ser paralelas, será igual a la distancia de un punto de r, P(1, 0, 2), a la recta s.
Una posible manera de averiguar la distancia d, es hallar una recta que sea perpendicular a r y s; después se averigua los puntos de corte y finalmente se busca la distancia entre ambos puntos de corte.
Ecuación de la recta, t, que pasa por P y es perpendicular a r y a s.
Vector director de t:
w = PP’Las coordenadas del punto P ya las sabemos y un punto cualquiera de P’ es (–3 + µ, –5 + 2µ, µ), por tanto:
w = (–3 + µ –1, –5 + 2µ – 0, µ – 2) = (µ – 4, 2µ – 5, µ – 2)Como t y r son perpendiculares se cumplirá que el producto escalar de sus vectores directores es igual a cero, es decir:
u·w = 0
(1, 2, 1)· (µ – 4, 2µ – 5, µ – 2) = 0
µ – 4 + 4µ – 10 + µ – 2 = 0
6µ = 16 ® µ = 16/6 = 8/3Punto de corte de las rectas t y s:
Coordenadas del punto P’:
P’[–3 + (8/3), –5 + 2(8/3), 8/3 ] = (–1/3, 1/3, 8/3)
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Área de un paralelogramo 01
Siendo P(5/14, 5/7, 5/14) y Q(1, 1, 1), se sabe que los segmentos OP y OQ son dos lados de un paralelogramo. Halla los vértices y el área de dicho paralelogramo.
Solución:
Datos: P(5/14, 5/7, 5/14); Q(1, 1, 1); O(0, 0, 0)
Sea M(x, y, z):
Para que la figura sea un paralelogramo se debe cumplir que los vectores OQ y PM han de ser iguales.
Coordenadas de los vectores OQ y PM:
OQ = (1, 1, 1)
PM = [x – (5/14), y – (5/7), z – (5/14)]
(1, 1, 1) = [x – (5/14), y – (5/7), z – (5/14)]
x – (5/14) = 1 ⇒ x = 1 + (5/14) = 19/14
y – (5/7) = 1 ⇒ y = 1 + (5/7) = 12/7
z – (5/14) = 1 ⇒ z = 1 + (5/14) = 19/14Coordenadas del vértice M: (19/14, 12/7, 19/14)
El área del paralelogramo es igual al módulo del vector normal al plano formado por los puntos OPMQ.
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