Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 03

     

    Sean A, B y C los puntos de corte del plano x + 5y – z = 5 con los ejes de coordenadas. Calcula el volumen del tetraedro que tiene por base el triángulo ABC y por vértice el punto (3, –1, 1).

     

     

    Solución:

    Volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D:

    VOLUMEN 01,2

    Coordenadas del punto A:

    Si A es el punto de corte del plano con el eje X, entonces: y = z = 0, por tanto:

    x + 5·0 – 0 = 5 ⇒ x = 5

    A(5, 0, 0)

    Coordenadas del punto B:

    Si B es el punto de corte del plano con el eje Y, entonces: x = z = 0, por tanto:

    0 + 5y – 0 = 5 ⇒ y = 1

    B(0, 1, 0)

    Coordenadas del punto C:

    Si C es el punto de corte del plano con el eje Z, entonces: x = y = 0, por tanto:

    0 + 5·0 – z = 5 ⇒ z = –5

    C(0, 0, –5)

    Coordenadas del punto D:

    Si el punto D es el vértice del tetraedro sus coordenadas son:

    D(3, –1, 1)

    Volumen del tetraedro:

    VOLUMEN 03, 2

     

     


  • Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 02

     

    Sea p el plano de ecuación: x + 2y + 3z = 5. Si Q(1, 1, 1) es el centro de un cubo que tiene una de sus caras sobre el plano p, halla el volumen del cubo.

     

     

    Solución:

     

    VOLUMEN 02, 1

    Volumen del cubo:

    V = L3

    VOLUMEN 02, 2

     

     

     

  • Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 01

     

    Un tetraedro tiene tres vértices en el plano OXY: A(2, 1, 0), B(3, 4, 0), C(–5, 10, 0) y el cuarto vértice D sobre la recta:

    VOLUMEN 01,1

    Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6u3.

     

     

    Solución:

    El problema se puede resolver de dos formas diferentes.

    Primera forma:

    El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D:

    VOLUMEN 01,2

    Como el vértice D se encuentra sobre la recta r sus coordenadas serán:

    D(1 – µ, 2 + µ, 3 + µ)

    Aplicando la fórmula:

    VOLUMEN 01,3

    Desarrollando por los elementos de la tercera columna, tenemos:

    VOLUMEN 01,4

    = –(3 + µ)·[(8 + 30 – 5) – (–20 + 3 + 20)] =

    = –(3 + µ)·(33 – 3) = –30·(3 + µ)

    |(1/6)·[ –30·(3 + µ)]| = 6

    Primera solución:

    –5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/(–5)

    µ = (–6/5) – 3 = –21/5

    Por tanto:

    D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]

    D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]

    Segunda solución:

    –5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = 6/5

    µ = (6/5) – 3 = –9/5

    Luego:

    D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]

    D[(14/5), (1/5), (6/5)]

    Segunda forma:

    VOLUMEN 01,5

    El volumen del tetraedro de aristas los vectores AB, AC y AD vale:

    VOLUMEN 01,6

    Coordenadas del vector AB:

    AB = (1, 3, 0)

    Coordenadas del vector AC:

    AC = (–7, 9, 0)

    Coordenadas del vector AD:

    AD = (1 – µ – 2 , 2 + µ – 1, 3 + µ – 0)

    AD = (–1 – µ , 1 + µ, 3 + µ)

    VOLUMEN 01,7

    = (3 + µ)·(9 + 21) = 30·(3 + µ)

    (1/6)|30·(3 + µ)| = 6

    Primera solución:

    5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/5

    µ = (6/5) – 3 = –9/5

    Por tanto:

    D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]

    D[(14/5), (1/5), (6/5)]

    Segunda solución:

    5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = –6/5

    µ = (–6/5) – 3 = –21/5

    Luego:

    D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]

    D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]

     

     

  • Área de un paralelogramo 02

     

    Sabiendo que dos lados de un cuadrado están en las rectas:


     

    halla el área del cuadrado.

     

     

    Solución:

    Primero tenemos que averiguar si los lados contenidos por las rectas r y s son los paralelos o los perpendiculares, para lo cual necesitamos conocer los vectores directores de ambas rectas.

    Vector director de r: u = (1, 2, 1).

    Para hallar el vector director de la segunda recta, primero la pasaremos a paramétricas.


     


    x = –3 + µ ⇒ –(–3 + µ) + y = –2 + µ


    3 – µ + y = –2 + µ ⇒ y = –5 + 2µ


     

    Como ambas rectas tienen el mismo vector director son paralelas.

    Área del cuadrado: 


    A = d2

    siendo d las distancia que existe entre ambas rectas, que, por ser paralelas, será igual a la distancia de un punto de r, P(1, 0, 2), a la recta s.

    Una posible manera de averiguar la distancia d, es hallar una recta que sea perpendicular a r y s; después se averigua los puntos de corte y finalmente se busca la distancia entre ambos puntos de corte.

    Ecuación de la recta, t, que pasa por P y es perpendicular a r y a s.


     

    Vector director de t:


    w = PP’

    Las coordenadas del punto P ya las sabemos y un punto cualquiera de P’ es (–3 + µ, –5 + 2µ, µ), por tanto:


    w = (–3 + µ –1, –5 + 2µ – 0, µ – 2) = (µ – 4, 2µ – 5, µ – 2)

    Como t y r son perpendiculares se cumplirá que el producto escalar de sus vectores directores es igual a cero, es decir:


    u·w = 0


    (1, 2, 1)· (µ – 4, 2µ – 5, µ – 2) = 0


    µ – 4 + 4µ – 10 + µ – 2 = 0


    6µ = 16 ® µ = 16/6 = 8/3

    Punto de corte de las rectas t y s:

    Coordenadas del punto P’:


    P’[–3 + (8/3), –5 + 2(8/3), 8/3 ] = (–1/3, 1/3, 8/3)


     


     


     

     


     

  • Área de un paralelogramo 01

     

    Siendo P(5/14, 5/7, 5/14) y Q(1, 1, 1), se sabe que los segmentos OP y OQ son dos lados de un paralelogramo. Halla los vértices y el área de dicho paralelogramo.

     

     

    Solución:

    Datos: P(5/14, 5/7, 5/14); Q(1, 1, 1); O(0, 0, 0)


     

    Sea M(x, y, z):

    Para que la figura sea un paralelogramo se debe cumplir que los vectores OQ y PM han de ser iguales.

    Coordenadas de los vectores OQ y PM:


    OQ = (1, 1, 1)


    PM = [x – (5/14), y – (5/7), z – (5/14)]


    (1, 1, 1) = [x – (5/14), y – (5/7), z – (5/14)]


    x – (5/14) = 1 ⇒ x = 1 + (5/14) = 19/14


    y – (5/7) = 1 ⇒ y = 1 + (5/7) = 12/7


    z – (5/14) = 1 ⇒ z = 1 + (5/14) = 19/14

    Coordenadas del vértice M: (19/14, 12/7, 19/14)


     

    El área del paralelogramo es igual al módulo del vector normal al plano formado por los puntos OPMQ.