Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 03

Sean A, B y C los puntos de corte del plano x + 5y – z = 5 con los ejes de coordenadas. Calcula el volumen del tetraedro que tiene por base el triángulo ABC y por vértice el punto (3, –1, 1).

Solución:

Volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D:

Coordenadas del punto A:

Si A es el punto de corte del plano con el eje X, entonces: y = z = 0, por tanto:

x + 5·0 – 0 = 5 ⇒ x = 5

A(5, 0, 0)

Coordenadas del punto B:

Si B es el punto de corte del plano con el eje Y, entonces: x = z = 0, por tanto:

0 + 5y – 0 = 5 ⇒ y = 1

B(0, 1, 0)

Coordenadas del punto C:

Si C es el punto de corte del plano con el eje Z, entonces: x = y = 0, por tanto:

0 + 5·0 – z = 5 ⇒ z = –5

C(0, 0, –5)

Coordenadas del punto D:

Si el punto D es el vértice del tetraedro sus coordenadas son:

D(3, –1, 1)

Volumen del tetraedro:

Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 02

Sea p el plano de ecuación: x + 2y + 3z = 5. Si Q(1, 1, 1) es el centro de un cubo que tiene una de sus caras sobre el plano p, halla el volumen del cubo.

Solución:

Volumen del cubo:

V = L³

Volumen del paralelepípedo y del tetraedro 01

Un tetraedro tiene tres vértices en el plano OXY: A(2, 1, 0), B(3, 4, 0), C(–5, 10, 0) y el cuarto vértice D sobre la recta:

Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea 6u³.

Solución:

El problema se puede resolver de dos formas diferentes.

Primera forma:

El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D:

Como el vértice D se encuentra sobre la recta r sus coordenadas serán:

D(1 – µ, 2 + µ, 3 + µ)

Aplicando la fórmula:

Desarrollando por los elementos de la tercera columna, tenemos:

= –(3 + µ)·[(8 + 30 – 5) – (–20 + 3 + 20)] =

= –(3 + µ)·(33 – 3) = –30·(3 + µ)

|(1/6)·[ –30·(3 + µ)]| = 6

Primera solución:

–5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/(–5)

µ = (–6/5) – 3 = –21/5

Por tanto:

D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]

D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]

Segunda solución:

–5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = 6/5

µ = (6/5) – 3 = –9/5

Luego:

D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]

D[(14/5), (1/5), (6/5)]

Segunda forma:

El volumen del tetraedro de aristas los vectores AB, AC y AD vale:

Coordenadas del vector AB:

AB = (1, 3, 0)

Coordenadas del vector AC:

AC = (–7, 9, 0)

Coordenadas del vector AD:

AD = (1 – µ – 2 , 2 + µ – 1, 3 + µ – 0)

AD = (–1 – µ , 1 + µ, 3 + µ)

= (3 + µ)·(9 + 21) = 30·(3 + µ)

(1/6)|30·(3 + µ)| = 6

Primera solución:

5·(3 + µ) = 6 ⇒ 3 + µ = 6/5

µ = (6/5) – 3 = –9/5

Por tanto:

D[1 – (–9/5), 2 + (–9/5), 3 + (–9/5)]

D[(14/5), (1/5), (6/5)]

Segunda solución:

5·(3 + µ) = –6 ⇒ 3 + µ = –6/5

µ = (–6/5) – 3 = –21/5

Luego:

D[1 – (–21/5), 2 + (–21/5), 3 + (–21/5)]

D[(26/5), (–11/5), (–6/5)]

Área de un paralelogramo 02

Sabiendo que dos lados de un cuadrado están en las rectas:

halla el área del cuadrado.

Solución:

Primero tenemos que averiguar si los lados contenidos por las rectas r y s son los paralelos o los perpendiculares, para lo cual necesitamos conocer los vectores directores de ambas rectas.

Vector director de r: u = (1, 2, 1).

Para hallar el vector director de la segunda recta, primero la pasaremos a paramétricas.

x = –3 + µ ⇒ –(–3 + µ) + y = –2 + µ

3 – µ + y = –2 + µ ⇒ y = –5 + 2µ

Como ambas rectas tienen el mismo vector director son paralelas.

Área del cuadrado: 

A = d²

siendo d las distancia que existe entre ambas rectas, que, por ser paralelas, será igual a la distancia de un punto de r, P(1, 0, 2), a la recta s.

Una posible manera de averiguar la distancia d, es hallar una recta que sea perpendicular a r y s; después se averigua los puntos de corte y finalmente se busca la distancia entre ambos puntos de corte.

Ecuación de la recta, t, que pasa por P y es perpendicular a r y a s.

Vector director de t:

w = PP’

Las coordenadas del punto P ya las sabemos y un punto cualquiera de P’ es (–3 + µ, –5 + 2µ, µ), por tanto:

w = (–3 + µ –1, –5 + 2µ – 0, µ – 2) = (µ – 4, 2µ – 5, µ – 2)

Como t y r son perpendiculares se cumplirá que el producto escalar de sus vectores directores es igual a cero, es decir:

u·w = 0

(1, 2, 1)· (µ – 4, 2µ – 5, µ – 2) = 0

µ – 4 + 4µ – 10 + µ – 2 = 0

6µ = 16 ® µ = 16/6 = 8/3

Punto de corte de las rectas t y s:

Coordenadas del punto P’:

P’[–3 + (8/3), –5 + 2(8/3), 8/3 ] = (–1/3, 1/3, 8/3)

Área de un paralelogramo 01

Siendo P(5/14, 5/7, 5/14) y Q(1, 1, 1), se sabe que los segmentos OP y OQ son dos lados de un paralelogramo. Halla los vértices y el área de dicho paralelogramo.

Solución:

Datos: P(5/14, 5/7, 5/14); Q(1, 1, 1); O(0, 0, 0)

Sea M(x, y, z):

Para que la figura sea un paralelogramo se debe cumplir que los vectores OQ y PM han de ser iguales.

Coordenadas de los vectores OQ y PM:

OQ = (1, 1, 1)

PM = [x – (5/14), y – (5/7), z – (5/14)]

(1, 1, 1) = [x – (5/14), y – (5/7), z – (5/14)]

x – (5/14) = 1 ⇒ x = 1 + (5/14) = 19/14

y – (5/7) = 1 ⇒ y = 1 + (5/7) = 12/7

z – (5/14) = 1 ⇒ z = 1 + (5/14) = 19/14

Coordenadas del vértice M: (19/14, 12/7, 19/14)

El área del paralelogramo es igual al módulo del vector normal al plano formado por los puntos OPMQ.