Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Área de un triángulo 03

     

     

    Halla el área del triángulo que determina el plano b: 2x + 3y + z – 6 = 0 con los ejes de coordenadas.

     

     

    Solución:

     

    Coordenadas de los puntos A, B y C:

    A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)

    Como el punto A ha de pertenecer a b se debe cumplir que:

    2a + 3·0 + 0 – 6 = 0 a = 6/2 = 3

    Por tanto:

    A(3, 0, 0)

    El punto B también debe pertenecer al plano luego:

    2·0 + 3b + 0 – 6 = 0 b = 6/3 = 2

    B(0, 2, 0)

    Lo mismo ocurre con el punto C:

    2·0 + 3·0 + c – 6 = 0 → c = 6

    C(0, 0, 6)

    Área de un triángulo:

     

     

     

     

  • Área de un triángulo 02

     

    Consideremos los puntos P(–1, 1, 1), Q(7, 1, 7) y R(–4, 1, 5) se pide:

    a)  Demuestra que son los vértices de un triángulo rectángulo y calcula la longitud de cada cateto y el área del triángulo.

    b)  Obtén la ecuación del plano que los contiene.

    c)  Obtén un punto T de manera que los puntos P, Q, R y T sean los vértices de un rectángulo.

     

     

    Solución:

    Datos: P(–1, 1, 1); Q(7, 1, 7); R(–4, 1, 5)

    a)  Si el triángulo formado por los puntos P, Q, y R es rectángulo debe tener dos lados que sean perpendiculares.

    Supongamos que los lados que son perpendiculares son los formados por los segmentos PQ Y PR.

     

    Por tanto:

    PQ·PR = 0

    Coordenadas de los vectores PQ y PR:

    PQ = [7 – (–1), 1 – 1, 7 – 1] = (8, 0, 6)

    PR = [–4 – (–1), 1 – 1, 5 – 1] = (–3, 0, 4)

    Producto escalar:

    PQ·PR = (8, 0, 6)· (–3, 0, 4) = –24 + 0 + 24 = 0

    Luego se trata de un triángulo rectángulo. Si estos dos lados no hubieran sido perpendiculares se probaría con otros dos.

    Los catetos son los lados que forman el ángulo recto, por tanto:

     

    Área del triángulo:

    Ar = (1/2) a·c = (1/2)·5·10 = 25 u2

    b)  Para hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R, necesitamos un punto (ya tenemos tres) y dos vectores directores (también los tenemos), con lo que podemos escribir la ecuación paramétrica del plano buscado.

     

    (El punto tomado ha sido el P, pero se podía haber cogido cualquiera de los otros dos)

    Si queremos tener el plano hallado en forma general hemos de eliminar los parámetros.

     

    (y – 1) (–18 – 32) = 0 → –50y + 50 = 0 ® y – 1 = 0

    c)  Coordenadas de T: (x, y, z)

    Para que el cuadrilátero formado por los puntos P, Q, R y T sea un rectángulo ha de tener, dos a dos, los lados iguales y paralelos.

     

     

    Por tanto:

    PR = QT

    Coordenadas de los vectores PR y QT:

    PR = (–3, 0, 4)

    QT = (x – 7, y – 1, z – 7)

    (–3, 0, 4) = (x – 7, y – 1, z – 7)

    –3 = x – 7 ® x = 4

    0 = y – 1 ® y =1

    4 = z – 7 ® z = 11

    Coordenadas de T: (4, 1, 11)

     

     

     

     

     

  • Área de un triángulo 01

     

    Halla el área del triángulo de vértices: P(3, 1, 2), Q(1, 2, –1) y S(–1, 1, –2)

     

     

    Solución:

    Datos: P(3, 1, 2); Q(1, 2, –1); S(–1, 1, –2)

     

    Área de un triángulo:

     

    Coordenadas de los vectores PQ y PS:

    PQ = (1 – 3, 2 – 1, –1 – 2) = (–2, 1, –3)

    PS = (–1 – 3, 1 – 1, –2 – 2) = (–4, 0, –4) 

     

    = –4 i + 4 j + 4 k

     

     

     

     

     

     

  • Distancia entre dos planos 02

     

    Entre todos los planos que pasan por la recta:

     

    a)  Halla la ecuación del plano p que es paralelo al plano α: 3x + 4z – 4 = 0

    b)  Halla la distancia entre los planos p y a.

     

     

    Solución:

    a)  Vamos a expresar la recta r en forma paramétrica.

     

    Si: z = 3l, lÎÂ ® y = 2 – 7l

    x = 5 – 2y – 6z  x = 5 – 2 (2 – 7l) – 6 (3l) = 5 – 4 + 14l – 18l = 1 – 4l

    Por tanto:

     

    El plano buscado es paralelo a a, luego:

    π: 3x + 4z + D = 0

    y por contener a la recta r, tenemos:

    3 (1 – 4l) + 4 (0 + 3l) + D = 0

    3 – 12l + 12l + D = 0 ® D = –3

    luego:

    π: 3x + 4z – 3 = 0

    b)   

     

    La distancia entre los planos a y p es la misma que existe entre los puntos P y Q. Luego hemos de encontrar las coordenadas de estos puntos.

    Como la recta r está contenida en el plano p, el punto Q puede ser el (1, 2, 0).

    Ahora hallaremos la ecuación de la recta s que pasa por Q y es perpendicular a ambos planos y que, por tanto, tendrá como vector director el vector normal o asociado al plano p,  n = (3, 0, 4).

    Ecuación paramétrica de s:

     

    La intersección de la recta s y el plano a es el punto P.

    3 (1 + 3µ) + 4 (0 + 4µ) – 4 = 0

    3 + 9µ + 16µ – 4 = 0

    25µ = 1 ® µ = 1/25

    Coordenadas de P:

    x = 1 + 3 (1/25) = 1 + (3/25) = 28/25

    y = 2

    z = 4 (1/25) = 4/25

    La distancia entre los dos planos es igual al módulo del vector PQ.

    Coordenadas del vector PQ:

    PQ = [1 – (28/25), 2 – 2, 0 – (4/25)] = [(–3/25), 0, (–4/25)]

     

     

     

     

     

     

  • Distancia entre dos planos 01

     

    Halla la distancia del plano:

    π º x – 5y + 2z – 19 = 0

    al plano:

    b º 2x – 10y + 4z = 0

     

    Solución:

    Primero veremos si los planos son paralelos, pues si se cortan la distancia entre ellos es cero.

    En este caso, evidentemente, los planos son paralelos ya que sus coeficiente son proporcionales, o sea:

    1/2 = –5/(–10)

    La distancia entre los dos planos es igual a la distancia de un punto cualquiera de uno de los planos al otro plano.

    Para hallar, por ejemplo, un punto cualquiera de b, podemos hacer: x = 0, y = 0 y sustituir en el plano:

    0 – 0 + 4z = 0 ® z = 0

    Coordenadas del punto: A(0, 0, 0)

    Distancia entre ambos planos: