Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre dos rectas 04

     

    Determina la posición relativa de las rectas:

     

    y la distancia entre ambas.

     

     

    Solución:

    a)  Pasemos a paramétricas la recta r:

     

    Sustituyamos las incógnitas de una recta en la otra y resolvamos el sistema formado.

     

    11·(–5/3) + l = 6

    (–55/3) + l = 6

    l = 6 + (55/3) =73/3

    Veamos si los resultados obtenidos verifican la tercera ecuación:

    (–5/3) + 5 (73/3) = (–5/3) + (365/3) = 360/3 = 120 ¹ 4

    El sistema es incompatible luego no tiene solución, por tanto las rectas son paralelas o se cruzan.

    Comprobemos la relación que existe entre los vectores directores.

    11/(–1) ¹ 14/(–1) ¹ 1/(–5)

    Como las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales, las rectas no son paralelas, por tanto se cruzan.

    b)  Tenemos que hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan y lo realizaremos por dos procedimientos diferentes.

    Primer procedimiento:

     

    La distancia buscada es la que hay entre un punto perteneciente a la recta s y un plano p paralelo a dicha recta y que contenga a la recta r

    De la ecuación de r tenemos un punto genérico (x, y, z), el punto (–5, –4, 0) y el vector director (11, 14, 1), que también pertenecen al plano p por contener a dicha recta.

    Por tanto los vectores (x + 5, y + 4, z) y (11, 14, 1) pertenecen a p y, además, por ser paralelo a s, el vector (–1, –1, –5). 

    Como los tres vectores anteriores son coplanarios o sea, linealmente dependientes, se cumple que:

     

    –69x – 345 + 54y + 216 + 3z = 0

    p º –69x + 54y + 3z – 129 = 0

    p º 23x – 18y – z + 43 = 0

    (x + 5) (–70 + 1) – (y + 4) (–55 + 1) + z (–11 + 14) = 0

    –69x – 345 + 54y + 216 + 3z = 0

    –69x + 54y + 3z – 129 = 0

    p º 23x – 18y – z + 43 = 0

    Para hallar el plano p también se puede hacer de la siguiente forma:

    Se pasa a forma general una de las rectas, por ejemplo, r:

     

     

    Haz de planos que pasan por r:

    14x – 11y + 26 + b (x – 11z + 5) = 0

    14x – 11y + 26 + bx – 11bz + 5b = 0

    (14 + b) x – 11y – 11bz + (26 + 5b) = 0

    De este haz se toma el plano paralelo a la recta s, luego se debe cumplir que:

    us·ur = 0

    siendo us el vector director de la recta s y ur el vector normal del plano paralelo a dicha recta.

    (–1, –1, –5)·[(14 + b), –11, –11b] = 0

    –14 – b + 11 + 55b = 0

    54b = 3 b = 3/54 = 1/18

    14x – 11y + 26 + (1/18) (x – 11z + 5) = 0

    252x – 198y + 468 + x – 11z + 5 = 0

    253x – 198y – 11z + 473 = 0

    p º 23x – 18y – z + 43 = 0

    Una vez se ha hallado la ecuación del plano p, se aplica la fórmula:

     

    Siendo P(1, –3, 4) un punto perteneciente a la recta s.

     

     

    Segundo procedimiento:

     

    La distancia que existe entre las rectas r y s es igual a la altura, h, del paralelepípedo:

    Volumen = Área de la base por la altura

    V = AB·h h = V/AB

    Volumen del paralelepípedo se puede hallar aplicando el triple producto mixto:

    V = AB·(u´v)

    El área de la base es igual al producto escalar de los vectores u y v:

    AB = u·v

    Por lo tanto:

     

    Se toman valores absolutos por tratarse de distancias.

    Vectores AB, u y v:

    AB = (1 + 5, –3 + 4, 4 – 0) = (6, 1, 4)

    u = (11, 14, 1)

    v = (–1, –1, –5)

     

    = 6 (–70 + 1) – 1 (–55 + 1) + 4 (–11 + 14) = –414 + 54 + 12 = –348

     

     

     

     

     

     

  • Distancia entre dos rectas 03

     

    Halla la posición relativa de las rectas:

     

    y la distancia entre ellas.

     

     

    Solución:

    a)  Pasemos a paramétricas ambas rectas.

     

     

    Sustituyamos las incógnitas de una recta en la otra y resolvamos el sistema formado.

     

    Veamos si los resultados obtenidos verifican la tercera ecuación:

    Primer miembro de la ecuación:

    2 + 3 (–10) = –28

    Segundo miembro de la ecuación:

    4 – 6 = –2

    Ambas miembros no son iguales por lo que no se verifica la tercera ecuación. Por tanto el sistema es incompatible luego no tiene solución. Las rectas son paralelas o se cruzan.

    Comprobemos la relación que existe entre los vectores directores.

    1/2 ¹ 2/3 ¹ 3/1

    Como las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales, las rectas no son paralelas, por tanto se cruzan.

    b)  Tenemos que hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan y lo realizaremos por dos procedimientos diferentes.

    Primer procedimiento.

     

    La distancia buscada es la que hay entre un punto perteneciente a la recta s y un plano p paralelo a dicha recta y que contenga a la recta r

    De la ecuación de r tenemos un punto genérico (x, y, z), el punto (0, 3, 2) y el vector director (1, 2, 3), que también pertenecen al plano p por contener a dicha recta.

    Por tanto los vectores (x – 0, y – 3, z – 2) y (1, 2, 3) pertenecen a p y, además, por ser paralelo a s, el vector (2, 3, 1).      

    Como los tres vectores anteriores son coplanarios o sea, linealmente dependientes, se cumple que:

     

    x (2 – 9) – (y – 3) (1 – 6) + (z – 2) (3 – 4) = 0

    –7x + 5y – 15 – z + 2 = 0

    p         º 7x – 5y + z + 13 = 0

    Aplicando la fórmula:

     

    Siendo P(2, 1, 4) un punto perteneciente a la recta s tenemos:

     

    Segundo procedimiento:

     

    La distancia que existe entre las rectas r y s es igual a la altura, h, del paralelepípedo:

    Volumen = Área de la base por la altura

    V = AB·h h = V/AB

    Volumen del paralelepípedo se puede hallar aplicando el triple producto mixto:

    V = AB·(u´v)

    El área de la base es igual al producto escalar de los vectores u y v:

    AB = u·v

    Por lo tanto:

     

    Se toman valores absolutos por tratarse de distancias.

    Vectores AB, u y v:

    AB = (2 – 0, 1 – 3, 4 – 2) = (2, –2, 2)

    u = (1, 2, 3)

    v = (2, 3, 1)

     

    = 2 (2 – 9) – (–2) (1 – 6) + 2 (3 – 4) = –14 – 10 – 2 = –26

     

     

     

     

     

     

  • Distancia entre dos rectas 02

     

    Halla la distancia entre las rectas que se cruzan:

     

     

     

    Solución:

     

    Hay que hallar la distancia de un punto cualquiera de una de las rectas, al plano paralelo a ella que contiene a la otra. 

    Haz de planos de arista s:

    x + y + z + m (x + y – z) = 0

    x + y + z + mx + my – mz = 0

    (1 + m) x + (1 + m) y + (1 – m) z = 0

    El plano perteneciente a este haz y que sea paralelo a la recta r debe cumplir que el producto escalar de su vector característico y del vector director de la recta ha de ser igual a cero, ya que ambos son perpendiculares.

    (1 + m)·1 + (1 + m)·(–1) + (1 – m)·1 = 0

    1 + m – 1 – m + 1 – m = 0

    1 – m = 0 m = 1

    El plano buscado es:

    x + y + z + x + y – z = 0

    2x + 2y = 0

    p º x + y = 0

    Distancia del punto P(1, 0, 0), perteneciente a la recta r, al plano p:

     

     

     

     

  • Distancia entre dos rectas 01

     

    Halla la mínima distancia entre las rectas:

     

    por dos procedimientos distintos.

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas, para lo cual escribiremos sus ecuaciones paramétricas:

     

    Sustituyamos las incógnitas de una recta en la otra y resolvamos el sistema formado.

     

    Veamos si los resultados obtenidos verifican la tercera ecuación:

     

    Por tanto el sistema es incompatible por consiguiente no tiene solución, luego las rectas son paralelas o se cruzan.

    Comprobemos la relación que existe entre los vectores directores.

    2/1 ¹ 3/3 ¹ 1/2

    Como las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales, las rectas no son paralelas, por tanto se cruzan.

    Primer procedimiento.

     

    La distancia buscada es la que hay entre un punto perteneciente a la recta s y un plano p paralelo a dicha recta y que contenga a la recta r

    De la ecuación de r tenemos un punto genérico (x, y, z), el punto (1, 1, 1) y el vector director (2, 3, 1), que también pertenecen al plano p por contener a dicha recta.

    Por tanto los vectores (x – 1, y – 1, z – 1), (2, 3, 1) pertenecen a p y además, por ser paralelo a s, el vector (1, 3, 2).      

    Como los tres vectores anteriores son coplanarios o sea, linealmente dependientes, se cumple que:

     

    (x – 1) (6 – 3) – (y – 1) (4 – 1) + (z – 1) (6 – 3) = 0

    3x – 3 – 3y + 3 + 3z – 3 = 0

    p º 3x – 3y + 3z – 3 = 0

    Simplificando:

    p º x – y + z – 1 = 0

    Aplicando la fórmula:

     

    siendo P(5, 2, 1) un punto perteneciente a la recta s tenemos:

     

    Segundo procedimiento:

     

    La distancia que existe entre las rectas r y s es igual a la altura, h, del paralelepípedo:

    Volumen = Área de la base por la altura

    V = AB·h h = V/AB

    Volumen del paralelepípedo se puede hallar aplicando el triple producto mixto:

    V = AB·(u´v)

    El área de la base es igual al producto escalar de los vectores u y v:

    AB = u·v

    Por lo tanto:

     

    Se toman valores absolutos por tratarse de distancias.

    Vectores AB, u y v:

    AB = (5 – 1, 2 – 1, 1 – 1) = (4, 1, 0)

    u = (1, 3, 2)

    v = (2, 3, 1)

     

    = 4 (3 – 6) – 1 (1 – 4) + 0 = –12 + 3 = –9 

     

     

     

     

  • Distancia entre un punto y un plano 05

     

    Halla la distancia del punto P(1, 0, 0) al plano que contiene a esta recta:

     

    y el plano es paralelo a:

     

     

     

     

    Solución:

    Distancia de un punto a un plano:

     

    Siendo P(a, b, c) y p: Ax + By + Cz + D = 0.

    Por tanto necesitamos conocer la ecuación del plano p.

     

    El plano p contiene a la recta r, de ecuación:

     

    (Se ha simplificado la  segunda fracción)

    Luego el punto A(–1, 2, 0) y el vector director u= (2, 3, 1), también pertenecen al plano.

    Ecuación paramétrica de la recta s:

     

    Por ser paralelos, el vector director de la recta s, v = (1, –1, 1), también es un vector director del plano p.

    Ecuación paramétrica del plano π:

     

    Eliminando los parámetros se obtiene la ecuación general:

     

    = (x + 1) (3 + 1) – (y – 2) (2 – 1) + z (–2 – 3)=

    = 4x + 4 – y + 2 – 5z = 0

    p: 4x – y – 5z + 6 = 0