Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre un punto y una recta 03

     

    Halla la distancia del punto P(1, 2, 0) a la recta:

     

     

     

    Solución:

    Primer procedimiento.

    Vamos a buscar una recta que sea perpendicular a la recta dada y que pase por el punto P. Una vez hallada dicha recta encontraremos el punto de corte con la recta r y la distancia entre este punto y el punto P será la distancia buscada.

    Para hallar un punto cualquiera de r ponemos a ésta en forma paramétrica:

     

     

     

    –(–1 – 4z) + y = 1 – 3z 1 + 4z + y = 1 – 3z

     

    y = 1 – 3z – 1 – 4z

     

    y = –7z

     

    Si hacemos z = l, lÎÂ, entonces tenemos:

     

     

     

    Por tanto las coordenadas de cualquier punto de  r son: Q (–1–4l, –7l, l).

     

     

     

    Como los vectores PQ y u han de ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar sea igual a cero, es decir:

     

    PQ·u = 0

     

    PQ = [(–1–4l) – 1, –7l – 2, l – 0] = (–2–4l, –2–7l, l)

     

    u = (–4, –7, 1)

     

    (–2–4l, –2–7l, l)·(–4, –7, 1) = 0

     

    8 + 16l + 14 + 49l + l = 0

     

    66l + 22 = 0 l = –22/66 = –1/3

     

    Las componentes del vector PQ son:

     

     

     

    La distancia de P a r es el módulo del vector PQ.

     

     

     

    Segundo procedimiento:

    Aplicando la fórmula:

     

     

     

     

     

  • Distancia entre un punto y una recta 02

     

    Halla la distancia entre el punto A(3, 2, 7) y la recta diagonal del primer octante.

     

     

    Solución:

     

     

     

    El primer octante es el recinto comprendido por los ejes X, Y y Z, en su parte positiva, por tanto la recta diagonal de este octante pasa por el punto O(0, 0, 0) y tiene como vector director u = (1, 1, 1).

    Aplicando la fórmula:

     

     

     

    siendo OA = (3, 2, 7)

     

     

     

     

     

     

  • Distancia entre un punto y una recta 01

     

    Dada la recta:

     

     

    y el punto P(3, 1, 2), calcula la distancia del punto P a la recta r por dos procedimientos distintos.

     

     

    Solución:

    Primer procedimiento:

    Vamos a buscar una recta que sea perpendicular a la recta dada y que pase por el punto P. Una vez hallada dicha recta encontraremos el punto de corte con la recta r y la distancia entre este punto y el punto P será la distancia buscada.

    Para hallar un punto cualquiera de r ponemos a ésta en forma paramétrica teniendo en cuenta que los denominadores de las fracciones son las componentes del vector director de r, o sea, u = (2, 1, 1), y que los valores del numerador con el signo cambiado son las coordenadas de un punto de r.

     

     

     

    Por tanto las coordenadas de cualquier punto de  r son: Q (1+2l, 2+l, –1+l).

     

     

     

    Como los vectores PQ y u han de ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar sea igual a cero, es decir:

     

    PQ·u = 0

     

    PQ = [(1+2l) – 3, (2+l) – 1, (–1+l) – 2]

     

    (–2+2l, 1+l, –3+l)·(2, 1, 1) = 0

     

    –4 + 4l + 1 + l – 3 + l = 0

     

    6l – 6 = 0 l = 1

     

    Las coordenadas del punto Q son:

     

    (1 + 2·1, 2 + 1, –1 + 1) = 3, 3, 0)

     

    Las coordenadas del vector PQ son:

     

    (3 – 3, 3 – 1, 0 – 2) = (0, 2, –2)

     

    La distancia de P a r es el módulo del vector PQ.

     

     

     

    Segundo procedimiento:

    Aplicando la fórmula:

     

     

     

     

     

  • Bisectriz de un ángulo 02

     

    Halla las bisectrices del ángulo formado por las rectas:

     

     

     

    Comprueba que ambas bisectrices son perpendiculares y coplanarias con r y s.

     

     

    Solución:

     

     

     

    Para hallar las bisectrices de los ángulos formados por dos rectas, se averigua, primeramente, el punto de corte de ambas rectas. Después se buscan los vectores directores de las bisectrices que son ur + us y urus si las normas de ur y us son iguales. En caso contrario, se trabaja con sus unitarios.

    Punto de corte de ambas rectas:

     

     

     

    Veamos si se verifica tercera ecuación:

     

    2·0 = 0 ® 0 = 0

     

    luego, sí.

    El punto de corte es:

     

    x = 0, y = 0, z = 2·0

     

    P(0, 0, 0)

     

    Ahora veamos si los vectores directores de las rectas tienen normas iguales.

     

     

     

    Como las normas son iguales, los vectores directores de las bisectrices son:

     

     

     

    Ecuaciones de las ecuaciones de las bisectrices:

     

     

     

    Veamos si ambas bisectrices son perpendiculares:

     

    (2, 1, 3)·(0, –3, 1) = 0 – 3 +3 = 0

     

    Como el producto escalar de los vectores de las bisectrices es igual a cero, ambas bisectrices son perpendiculares.

    Busquemos las ecuaciones del plano que contiene a r y s.

    Puntos del plano: P(0,0,0,). Vectores directores: (1, –1, 2) y (1, 2, 1)

    Primero expresaremos las ecuaciones del plano en paramétricas y después las pasaremos a implícitas.

     

     

     

    p º x (–1 – 4) – y (1 – 2) + z (2 + 1) = 0

     

    p º 5x – y – 3z = 0

     

    Hallemos las ecuaciones del plano que contiene a las dos bisectrices.

    Puntos del plano: P(0, 0, 0). Vectores directores: (2, 1, 3) y (0, –3, 1)

    Expresaremos las ecuaciones del plano en paramétricas y después las pasaremos a implícitas.

     

     

     

    pº x (1 + 9) – y (2 – 0) + z (–6 – 0) = 0

     

    pº 10x – 2y  – 6z = 0

     

    Simplificando:

     

    pº 5x – y – 3z = 0

     

    Ambos planos son el mismo, luego las rectas r, s, b y b’ son coplanarias.

     

     

     

     

  • Bisectriz de un ángulo 01

     

    Hállense las bisectrices del ángulo formado por las rectas:

     

     

     

    Solución:

     

     

     

    Para hallar las bisectrices de los ángulos formados por dos rectas, se averigua, primeramente, el punto de corte de ambas rectas. Después se buscan los vectores directores de las bisectrices que son ur + us y urus si las normas de ur y us son iguales. En caso contrario, se trabaja con sus unitarios.

    Punto de corte de ambas rectas:

     

     

     

    Veamos si se verifica segunda ecuación:

     

    2·1 = –3·0 + 2 ® 2 = 2  

     

    luego, sí.

    El punto de corte es:

     

    x = 1, y = 2·1 = 2, z = 1 – 1 = 0

     

    P(1, 2, 0)

     

    Ahora veamos si los vectores directores de las rectas tienen normas iguales.

     

     

     

    Como las normas no son iguales, se pueden sustituir los vectores directores por sus correspondientes unitarios.

     

     

     

    Vectores directores de las bisectrices:

     

     

     

    Prescindiendo de los denominadores, las ecuaciones de las bisectrices son: