Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Proyección ortogonal 03

     

    Halla la ecuación de la proyección r’ de la recta:

     

    sobre el plano: a º 2x – y + 3z + 6 = 0.

     

     

    Solución:

     

     

     

    La recta r’ es la intersección del plano a con el plano b, perpendicular a  a, y que contiene a la recta r. Por tanto debemos encontrar la ecuación de b ya que la de a ya la tenemos.

    Para hallar la ecuación de b vamos a hallar un punto y dos vectores directores.

    De la recta r obtenemos las coordenadas del punto A(2, 1, 0) y un vector director v = (1, 2, –1).

    Como b es perpendicular a a el vector característico n = (2, –1, 3) de este plano, será un vector director de aquél.

    Ecuaciones paramétricas del plano b:

     

     

     

    Ahora pasamos las ecuaciones paramétricas del plano b a implícitas, eliminando los parámetros m y d.

     

     

     

    (x – 2) (1 – 6) – (y – 1) (–2 – 3) + z (4 + 1) = 0

     

    –5x + 10 + 5y – 5 + 5z = 0

     

    b º x – y – z – 1 = 0

     

    Ecuaciones implícitas de la recta r’:

     

     

     

    Otra forma de realizar este problema es la siguiente:

     

     

     

    La proyección P’ de un punto P sobre el plano a es la intersección con el plano de la perpendicular a a trazada por el punto P.

    La recta r’, proyección de la recta r sobre a, se obtiene hallando la proyección de dos puntos de r. Uno de ellos puede ser el punto de corte M y el otro un punto cualquiera.

    Las ecuaciones paramétricas de r son:

     

     

     

    Sustituyendo en la ecuación del plano resulta:

     

    2 (2 + l) – (1 + 2l) + 3 (–l) + 6 = 0

     

    4 + 2l – 1 – 2l – 3l + 6 = 0 

     

    –3l + 9 = 0 l = 9/3 = 3

     

    Sustituyendo l en las ecuaciones paramétrica de r se obtiene:

     

    M(5, 7, –3)

     

    Otro punto de la recta es P(2, 1, 0)

    La ecuación de la recta PP’, perpendicular a a, tiene por vector director el vector normal del plano: n = (2, –1, 3)

    Ecuaciones paramétricas de PP’:

     

     

     

    El punto P’, de corte con el plano, lo hallaremos sustituyendo en la ecuación del plano:

     

    2 (2 + 2m) – (1 – m) + 3 (3m) + 6 = 0

     

    4 + 4m – 1 + m + 9m + 6 = 0

     

    14m + 9 = 0 m = –9/14

     

    Coordenadas del punto P’:

     

    x = 2 + 2 (–9/14) = 2 – (18/14) = 10/14

     

    y = 1 – (–9/14) = 1 + (9/14) = 23/14

     

    z = 3 (–9/14) = –27/14

     

    P’(10/14, 23/14, –27/14)

     

    Un vector director de r’ (proyección de r sobre a) es:

     

     

     

    O, también: (–4, –5, 1)

    Ecuaciones paramétricas de r’:

     

     

     

    Veamos si un punto cualquiera de r’ verifica las ecuaciones implícitas de r’ hallada en la primera forma y así comprobaremos que el resultado es el mismo:

    Primera ecuación:

     

    2 (5 – 4d) – (7 – 5d) + 3 (–3 + d) + 6 = 0

     

    10 – 8d – 7 + 5d – 9 + 3d + 6 = 0

     

    0 + 0 = 0

     

    Segunda ecuación:

     

     

     

    (5 – 4d) – (7 – 5d) – (–3 + d) – 1 = 0

     

    5 – 4d – 7 + 5d + 3 – d – 1 = 0

     

    0 + 0 = 0

     

    Las dos ecuaciones se verifican. Ambas rectas son la misma.