Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ángulo formado por una recta y un plano 01

     

    Halla el ángulo que forman la recta:

     

     

    y el plano:

     

    p: x + y – 1 = 0

     

     

    Solución:

     

     

     

    b = 90º – a

     

    Aplicando el producto escalar de dos vectores:

     

     

     

    Vector director de r:

     

     

     

    Vector normal de p:

     

     

     

    Ángulo que forman r y p:

     

    b = 90º – 45º = 45º 

     

     

     

     

  • Ángulo formado por dos rectas 02

     

    El vértice A de un triángulo rectángulo pertenece a la recta:

     

     y la hipotenusa tiene por extremos B(2, 1, –1) y C(0, –1, 3). Calcular el vértice A y los ángulos agudos del triángulo ABC.

     

     

    Solución:

     

     

     

    Como el punto A pertenece a la recta r sus coordenadas serán las siguientes:

     

     

     

    Los vectores AB y AC son perpendiculares, por tanto:

     

    AB·AC = 0

     

    AB = (2 – 3, 1 + z + 1, –1 – z) = (–1, 2 + z, –1 – z)

     

    AC = (0 – 3, –1 + z + 1, 3 – z) = (–3, z, 3 – z)

     

    AB·AC = (–1, 2 + z, –1 – z)· (–3, z, 3 – z) = 0

     

    3 + 2z + z2 – 3 + z – 3z + z2 = 0

     

    2z2 = 0 z = 0

     

    Coordenadas del vértice A: A(3, –1, 0)

    Del producto escalar de dos vectores tenemos:

     

     

     

     

     

     

  • Ángulo formado por dos rectas 01

     

    Halla el ángulo que forman las rectas de ecuaciones:

     

     

     

    Solución:

     

     

     

    Del producto escalar de dos vectores tenemos:

     

     

     

    Como el producto escalar de los vectores directores de las rectas es igual a cero, las rectas son perpendiculares, por tanto forma un ángulo de 90º.

     

     

     

     

     

  • Proyección ortogonal 05

     

    Halla la recta s simétrica a r respecto del plano a, siendo:

     

     

     

    Solución:

     

     

     

    La recta s es la que pasa por los puntos B y A’’, siendo el primer punto la intersección de r con a y el segundo el simétrico de A con respecto al plano a.

    Por tanto, primero hallaremos el punto B.

    Pasamos a paramétricas las ecuaciones de r.

     

     

     

    Sustituimos los valores de las incógnitas en a para hallar el valor de l.

     

    3 (1 + 4l) – 6 (2 + 2l) + (3 + 3l) – 1 = 0

     

    3 + 12l – 12 – 12l + 3 + 3l – 1 = 0

     

    3l – 7 = 0

     

    l = 7/3

     

    Ahora sustituimos el valor de l en r con lo cual hallaremos el valor de B.

     

    x = 1 + 4 (7/3) = 1 + (28/3) = 31/3

     

    y = 2 + 2 (7/3) = 2 + (14/3) = 20/3

     

    z = 3 + 3 (7/3) = 3 + 7 = 10

     

    B(31/3, 20/3, 10)

     

    Para hallar las coordenadas de A’’ necesitamos, primero, encontrar las de A’, para lo cual averiguaremos ecuación de la recta r’que pasa por A y es perpendicular a a y, por tanto, tendrá como vector director el vector característico del plano.

     

     

     

    Sustituimos los valores de las incógnitas en a para hallar el valor de m.

     

    3 (1 + 3m) – 6 (2 – 6m) + (3 + m) – 1 = 0

     

    3 + 9m – 12 + 36m + 3 + m – 1 = 0

     

    46m – 7 = 0

     

    m = 7/46

     

    Ahora sustituimos el valor de m en r’ con lo cual hallaremos el valor de A’.

     

    x = 1 + 3 (7/46) = 1 + (21/46) = 67/46

     

    y = 2 – 6 (7/46) = 2 – (42/46) = 50/46

     

    z = 3 + (7/46) = 145/46

     

    A’(67/46, 50/46, 145/46)

     

    Como A’ es el punto medio del segmento AA”, tenemos que:

     

    67/46 = (x” + 1)/2

     

    134 = 46x” + 46

     

    46x” = 88 x” = 88/46 = 44/23

     

    50/46 = (y” + 2)/2

     

    100 = 46y” + 92

     

    46y” = 8 y” = 8/46 = 4/23

     

    145/46 = (z” + 3)/2

     

    290 = 46z” + 138

     

    46z” = 152 x” = 152/46 = 76/23

     

    A”(44/23, 4/23, 76/23)

     

    Vector director de la recta s:

     

     

     

    O, también:

     

    u = (581, 448, 462)

     

    Ecuación de la recta s:

     

     

     

     

     

  • Proyección ortogonal 04

     

    Determina la proyección ortogonal sobre el plano a º 3x – 2y + 5z + 11 = 0  de:

    a)  El punto P(–1, 2, 3)

    b)  La recta:

     

     

     

     

    Solución:

    a)    

     

     

     

    Se trata de hallar el punto de intersección, M, entre la recta t y el plano a.

    Como t es perpendicular al plano a, el vector característico (normal) del plano será un vector director de la recta.

    Por tanto hemos de hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene por vector director a n = (3, –2, 5).

    Ecuaciones paramétrica de t:

     

     

     

    Sustituyendo en el plano tendremos:

     

    3 (–1 + 3l) – 2 (2 – 2l) + 5 (3 + 5l) + 11 = 0

     

    –3 + 9l – 4 + 4l + 15 + 25l + 11 = 0

     

    38l + 19 = 0 l = –19/38 = –1/2

     

    Sustituyendo el valor de l en las ecuaciones de la recta, tendremos las coordenadas del punto M:

     

    x = –1 + 3 (–1/2) = –1 – (3/2) = –5/2

     

    y = 2 – 2 (–1/2) = 2 + 1 = 3

     

    z = 3 + 5 (–1/2) = 3 – (5/2) = 1/2

     

    M(–5/2, 3, 1/2)

     

    b)     

     

     

     

    La recta r’ es la intersección del plano a con el plano b, perpendicular  a, y que contiene a la recta r. Por tanto debemos encontrar la ecuación de b ya que la de a ya la tenemos.

    Para hallar la ecuación de b vamos a hallar un punto y dos vectores directores.

    De la recta r obtenemos las coordenadas del punto A(1, –2, 0) y un vector director v = (2, 3,1).

    Como b es perpendicular al plano a el vector característico (normal) n = (3, –2, 5) de este plano, será un vector director de aquél.

    Ecuaciones paramétricas del plano b:

     

     

     

    Ahora pasamos las ecuaciones paramétricas del plano b a implícitas, eliminando los parámetros m y d.

     

     

     

     (x – 1) (15 + 2) – 2 (5y + 10 + 2z) + 3 (y + 2 – 3z) = 0

     

    17x – 17 – 10y – 20 – 4z + 3y + 6 – 9z = 0

     

    b º 17x – 7y – 13z – 31 = 0

     

    Ecuaciones implícitas de la recta r’: