Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Proyección ortogonal 02

     

    Halla la longitud de la proyección de los puntos A(1, 1, 1) y B(–1, 0, 2) sobre el plano:

     

     

     

    Solución:

     

     

     

    La distancia buscada es la que hay entre los puntos A’ y B’, que son, respectivamente, las intersecciones de las rectas que pasan por A y B, y que son perpendiculares al plano a. 

    Pasemos a implícitas las ecuaciones del plano eliminando los parámetros λ y μ. 

     

     

     

    x (4 – 2) – (y – 1) (2 + 4) + (z – 2) (–1 – 4) = 0

     

    2x – 6y + 6 – 5z + 10 = 0

     

    π ≡ 2x – 6y – 5z + 16 = 0

     

    La recta r, que pasa por A y es perpendicular a α, tiene por vector director el vector característico del plano α, o sea (2, –6, –5):

    Ecuaciones paramétricas de r:

     

     

     

    Para hallar la intersección de r y α, sustituiremos en el plano el valor de las incógnitas de la recta, para encontrar el valor del parámetro γ.

     

    2 (1 + 2γ) – 6 (1 – 6γ) – 5 (1 – 5γ) + 16 = 0

     

    2 + 4γ – 6 + 36γ – 5 + 25γ + 16 = 0 

     

    65γ + 7 = 0 γ = –7/65

     

    Coordenadas del punto A’:

     

    x = 1 + 2 (–7/65) = 1 – (14/65) = 51/65

     

    y = 1 – 6 (–7/65) = 1 + (42/65) = 107/65

     

    z = 1 – 5 (–7/65) = 1 + (35/65) = 100/65

     

    A’(51/65, 107/65, 100/65)

     

    Recta s, que pasa por B y es perpendicular a α también tiene por vector director, el vector característico del plano α, (2, –6, –5):

    Ecuaciones paramétricas de s:

     

     

     

    Para hallar la intersección de s y a, sustituiremos en el plano el valor de las incógnitas de la recta, para encontrar el valor del parámetro δ.

     

    2 (–1 + 2δ) – 6 (–6δ) – 5 (2 – 5δ) + 16 = 0

     

    –2 + 4δ + 36δ – 10 + 25δ + 16 = 0

     

    65δ + 4 = 0 δ = –4/65

     

    Coordenadas del punto B’:

     

    x = –1 + 2 (–4/65) = –1 – 8/65 = –73/65

     

    y = –6 (–4/65) = 24/65

     

    z = 2 – 5 (–4/65) = 2 + 20/65 = 150/65

     

    B’(–73/65, 24/65, 150/65)

     

    Distancia entre los puntos A’ y B’:

     

     

     

     

     

  • Proyección ortogonal 01

     

    Dado el punto A(2, 1, 1) y la recta:

     

     

     

    calcula:

    a)  La proyección ortogonal de A sobre r.

    b)   El simétrico de A respecto de r.

     

     

    Solución:

    a)    

     

     

     

    La proyección de A sobre r es el punto de corte, M, de una recta, s, perpendicular a r y que pasa por A.

    Para hallar las coordenadas de M, primero pasaremos a paramétricas las ecuaciones de la recta r:

     

     

    Cualquier punto de r tendrá por coordenadas: M(1 + 3λ, 4λ, 12 – 2λ)

    Vector director de t:

     

     

     

    Como los vectores directores de ambas rectas deben ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar ha de ser igual a cero.

     

    (3λ – 1, 4λ – 1, –2λ + 11)·(3, 4, –2) = 0

     

    9λ – 3 + 16λ – 4 + 4λ – 22 = 0

     

    29λ – 29 = 0  λ = 1

     

    Luego las coordenadas del punto M son:

     

    (1 + 3·1, 4·1, 12 – 2·1) = (4, 4, 10)

     

    b)   

     

     

     

    Si A’ es el punto simétrico de A con respecto de r se debe cumplir que M ha de ser el punto medio del segmento AA’, luego por las coordenadas del punto medio tenemos:

     

    4 = (2 + x’)/2 2 + x’ = 8 x’ = 6

     

    4 = (1 + y’)/2 1 + y’ = 8 y’ = 7

     

    10 = (1 + z’)/2 1 + z’ = 20 z’ = 19

     

    A’(6, 7, 19)

     

     

     

     

  • Planos perpendiculares 04

     

    Halla la ecuación implícita del plano que pasa por A(–1, 4, 0) y es perpendicular a los planos:

     

     

     

    Solución:

    El plano que buscamos ha de ser perpendicular a π y a σ, por tanto los vectores característicos de éstos serán los vectores directores de aquél.

    Pasemos a implícitas las ecuaciones de σ eliminando los parámetros α y β.

     

     

     

    (x + 1) (1 – 0) – 1 (y – 0) + 1 (0 – z) = 0

     

    x + 1 – y – z = 0

     

    σ ≡ x – y – z + 1 = 0

     

    Vectores directores del plano buscado:

     

    π (1, 4, –1)                   σ (1, –1, –1)

     

    Ecuaciones paramétricas del plano buscado:

     

     

     

    Eliminando los parámetros podemos escribir la ecuación implícita:

     

     

     

    (x + 1) (–4 – 1) – 1 (–y + 4 + z) + 1 (–y + 4 – 4z) = 0

     

    –5x – 5 + y – 4 – z – y + 4 – 4z = 0

     

    –5x – 5z – 5 = 0

     

    Simplificando:

     

    x + z + 1 = 0

     

     

     

     

  • Planos perpendiculares 03

     

    Halla la ecuación implícita del plano perpendicular a los planos: π ≡ 2x + y + 4z – 1 = 0, σ ≡ 3x – 2y – z = 1 y que pasa por el punto A(1, 1, 1).

     

     

    Solución:

    El plano que buscamos ha de ser perpendicular a π y a σ, por tanto los vectores normales, (2, 1, 4)  y (3, –2, –1), de estos planos serán vectores directores de aquél.

    Ecuaciones paramétricas del plano buscado:

     

     

     

    Eliminando los parámetros podemos escribir la ecuación implícita:

     

        

     

    (x – 1) (–1 + 8) – (y – 1) (–2 – 12) + (z – 1) (–4 – 3) = 0

     

    7x – 7 + 14y – 14 – 7z + 7 = 0

     

    7x + 14y – 7z – 14 = 0

     

    Simplificando:

     

    x + 2y – z – 2 = 0

     

     

     

     

  • Planos perpendiculares 02

     

    Halla la ecuación del plano que contiene a la recta:

     

     

    y es perpendicular al plano: π ≡ x – 2y = 0.

     

     

    Solución:

     

     

     

    Haz de planos que contienen a r:

     

    x + y – z – 1 + λ (y + z) = 0

     

    x + y – z – 1 + λy + λz = 0

     

    x + (1 + λ) y + (λ – 1) z – 1 = 0

     

    De todos los planos que componen el haz queremos hallar el que sea perpendicular a π , luego el producto escalar de sus vectores normales ha de ser cero.

     

    1·1 + (–2) (1 + λ) + 0 (λ – 1) = 0

     

    1 – 2 – 2λ = 0 –1 – 2λ = 0  λ = –1/2