Proyección ortogonal 02

Halla la longitud de la proyección de los puntos A(1, 1, 1) y B(–1, 0, 2) sobre el plano:

Solución:

La distancia buscada es la que hay entre los puntos A’ y B’, que son, respectivamente, las intersecciones de las rectas que pasan por A y B, y que son perpendiculares al plano a. 

Pasemos a implícitas las ecuaciones del plano eliminando los parámetros λ y μ. 

x (4 – 2) – (y – 1) (2 + 4) + (z – 2) (–1 – 4) = 0

2x – 6y + 6 – 5z + 10 = 0

π ≡ 2x – 6y – 5z + 16 = 0

La recta r, que pasa por A y es perpendicular a α, tiene por vector director el vector característico del plano α, o sea (2, –6, –5):

Ecuaciones paramétricas de r:

Para hallar la intersección de r y α, sustituiremos en el plano el valor de las incógnitas de la recta, para encontrar el valor del parámetro γ.

2 (1 + 2γ) – 6 (1 – 6γ) – 5 (1 – 5γ) + 16 = 0

2 + 4γ – 6 + 36γ – 5 + 25γ + 16 = 0 

65γ + 7 = 0 → γ = –7/65

Coordenadas del punto A’:

x = 1 + 2 (–7/65) = 1 – (14/65) = 51/65

y = 1 – 6 (–7/65) = 1 + (42/65) = 107/65

z = 1 – 5 (–7/65) = 1 + (35/65) = 100/65

A’(51/65, 107/65, 100/65)

Recta s, que pasa por B y es perpendicular a α también tiene por vector director, el vector característico del plano α, (2, –6, –5):

Ecuaciones paramétricas de s:

Para hallar la intersección de s y a, sustituiremos en el plano el valor de las incógnitas de la recta, para encontrar el valor del parámetro δ.

2 (–1 + 2δ) – 6 (–6δ) – 5 (2 – 5δ) + 16 = 0

–2 + 4δ + 36δ – 10 + 25δ + 16 = 0

65δ + 4 = 0 → δ = –4/65

Coordenadas del punto B’:

x = –1 + 2 (–4/65) = –1 – 8/65 = –73/65

y = –6 (–4/65) = 24/65

z = 2 – 5 (–4/65) = 2 + 20/65 = 150/65

B’(–73/65, 24/65, 150/65)

Distancia entre los puntos A’ y B’:

Proyección ortogonal 01

Dado el punto A(2, 1, 1) y la recta:

calcula:

a)  La proyección ortogonal de A sobre r.

b)   El simétrico de A respecto de r.

Solución:

a)    

La proyección de A sobre r es el punto de corte, M, de una recta, s, perpendicular a r y que pasa por A.

Para hallar las coordenadas de M, primero pasaremos a paramétricas las ecuaciones de la recta r:

Cualquier punto de r tendrá por coordenadas: M(1 + 3λ, 4λ, 12 – 2λ)

Vector director de t:

Como los vectores directores de ambas rectas deben ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar ha de ser igual a cero.

(3λ – 1, 4λ – 1, –2λ + 11)·(3, 4, –2) = 0

9λ – 3 + 16λ – 4 + 4λ – 22 = 0

29λ – 29 = 0 → λ = 1

Luego las coordenadas del punto M son:

(1 + 3·1, 4·1, 12 – 2·1) = (4, 4, 10)

b)   

Si A’ es el punto simétrico de A con respecto de r se debe cumplir que M ha de ser el punto medio del segmento AA’, luego por las coordenadas del punto medio tenemos:

4 = (2 + x’)/2 → 2 + x’ = 8 → x’ = 6

4 = (1 + y’)/2 → 1 + y’ = 8 → y’ = 7

10 = (1 + z’)/2 → 1 + z’ = 20 → z’ = 19

A’(6, 7, 19)

Planos perpendiculares 04

Halla la ecuación implícita del plano que pasa por A(–1, 4, 0) y es perpendicular a los planos:

Solución:

El plano que buscamos ha de ser perpendicular a π y a σ, por tanto los vectores característicos de éstos serán los vectores directores de aquél.

Pasemos a implícitas las ecuaciones de σ eliminando los parámetros α y β.

(x + 1) (1 – 0) – 1 (y – 0) + 1 (0 – z) = 0

x + 1 – y – z = 0

σ ≡ x – y – z + 1 = 0

Vectores directores del plano buscado:

π → (1, 4, –1)                   σ → (1, –1, –1)

Ecuaciones paramétricas del plano buscado:

Eliminando los parámetros podemos escribir la ecuación implícita:

(x + 1) (–4 – 1) – 1 (–y + 4 + z) + 1 (–y + 4 – 4z) = 0

–5x – 5 + y – 4 – z – y + 4 – 4z = 0

–5x – 5z – 5 = 0

Simplificando:

x + z + 1 = 0

Planos perpendiculares 03

Halla la ecuación implícita del plano perpendicular a los planos: π ≡ 2x + y + 4z – 1 = 0, σ ≡ 3x – 2y – z = 1 y que pasa por el punto A(1, 1, 1).

Solución:

El plano que buscamos ha de ser perpendicular a π y a σ, por tanto los vectores normales, (2, 1, 4)  y (3, –2, –1), de estos planos serán vectores directores de aquél.

Ecuaciones paramétricas del plano buscado:

Eliminando los parámetros podemos escribir la ecuación implícita:

(x – 1) (–1 + 8) – (y – 1) (–2 – 12) + (z – 1) (–4 – 3) = 0

7x – 7 + 14y – 14 – 7z + 7 = 0

7x + 14y – 7z – 14 = 0

Simplificando:

x + 2y – z – 2 = 0

Planos perpendiculares 02

Halla la ecuación del plano que contiene a la recta:

y es perpendicular al plano: π ≡ x – 2y = 0.

Solución:

Haz de planos que contienen a r:

x + y – z – 1 + λ (y + z) = 0

x + y – z – 1 + λy + λz = 0

x + (1 + λ) y + (λ – 1) z – 1 = 0

De todos los planos que componen el haz queremos hallar el que sea perpendicular a π , luego el producto escalar de sus vectores normales ha de ser cero.

1·1 + (–2) (1 + λ) + 0 (λ – 1) = 0

1 – 2 – 2λ = 0 → –1 – 2λ = 0 → λ = –1/2