Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Perpendicular común a dos rectas 02

     

    Dadas las rectas:

     

     

    a)  Hallar la recta perpendicular a ambas (“perpendicular común”)

    b)  Hallar la distancia entre r y s.

     

     

    Solución:

    a)    

     

     

     

    Coordenadas de un punto cualquiera de la recta r:

     

    A(1 – λ, λ, –1 + λ)

     

    Coordenadas de un punto cualquiera de la recta s:

     

    B(1 + μ, 1 + 2μ, –μ)

     

    Componentes de vector cualquiera, BA, perpendicular a los vectores directores us y ur:

     

    Por ser perpendicular BA a ur = (1, 1, 1):

     

    (λ μ,λ – 1 – 2μ, –1 + λ  + μ)·(–1, 1, 1) = 0

     

    λ + μ + λ – 1 – 2μ –1 + λ + μ = 0

     

    3λ – 2 = 0 3λ = 2 λ = 2/3

     

     

     

    Por ser perpendicular BA a us = (1, 2, –1):

     

    (l μ, l – 1 – 2μ, –1 + l  + μ)·(1, 2, –1) = 0

     

    l μ + 2l – 2 – 4μ + 1 – l μ = 0

     

    –6μ – 1 = 0 –6μ = 1 μ = –1/6

     

     

     

    La recta que pasa por A y por B es la perpendicular común a r y s:

     

     

     

    O también:

     

     

     

    Ecuaciones paramétricas de la recta t perpendicular a r y s:

     

     

     

    b)  Distancia entre r y s:

     

     

     

     

     

     

  • Perpendicular común a dos rectas 01

     

    Escribe la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas:

     

     

     

    Solución:

    Ecuaciones paramétricas de las rectas r y s:

     

     

     

    Coordenadas de un punto cualquiera de la recta r:

     

    A(l, l, l)

     

    Coordenadas de un punto cualquiera de la recta s:

     

    B(1 + μ, 2 + 3μ, –1 – μ)

     

    Coordenadas de un vector cualquiera, BA, perpendicular a los vectores directores us y ur:

     

     

     

    Por ser perpendicular BA a ur = (1, 1, 1):

     

    (λ – 1 – μλ – 2 – 3μλ + 1 + μ)·(1, 1, 1) = 0

     

    λ – 1 – μ + λ – 2 – 3μ + λ + 1 + μ = 0

     

    3λ – 3μ – 2 = 0 3λ – 3μ = 2

     

    Por ser perpendicular BA a us = (1, 3, –1):

     

    (λ – 1 – μ, λ – 2 – 3μ, λ + 1 + μ)·(1, 3, –1) = 0

     

    λ – 1 – μ + 3λ – 6 – 9μ – λ 1 – μ = 0

     

    3λ – 11μ – 8 = 0 3λ – 11μ = 8

     

    Resolviendo el sistema hallado se averigua las coordenadas de los puntos A y B:

     

     

     

    La recta que pasa por A y por B es la perpendicular común a r y s:

     

     

     

    O también:

     

     

     

    Ecuaciones paramétricas de la recta t perpendicular a r y s:

     

     

     

     

     

     

  • Recta perpendicular a un plano 02

     

    Halla si existe alguna recta que apoyándose en las rectas r y s sea perpendicular al plano p, siendo:

     

     

    y

    π 2x – y + 4z = 0

     

     

    Solución:

    Al apoyarse en r, la recta buscada pasará por el punto A(λ, –λ + 1, 2λ + 1)  y al hacerlo en s, pasará por B(μ, –3μ + 1, 4μ).

    Vector director de la recta buscada:

     

     

     

    Conjunto de rectas que se apoyan en r y en s:

     

     

     

    Si existe alguna recta que cumple las anteriores condiciones y es perpendicular al plano p, las coordenadas de su vector director han de ser proporcionales a las coordenadas del vector característico del plano, luego:

     

     

     

    Coordenadas de un punto y del vector director:

     

     

     

    Ecuación de la recta buscada:

     

     

     

     

     

  • Recta perpendicular a un plano 01

     

    Razona por qué la recta de dirección (1, –2, m) es perpendicular al plano x – 2y + mz + n = 0 (donde m y n son números reales)

     

     

    Solución:

     

     

     

    Si la recta es perpendicular al plano el vector directo de ésta, u = (1, –2, m), y el vector normal del plano, n = (1, –2, m), han de ser paralelos, es decir, que sus coordenadas han de ser proporcionales:

     

    1/1 = –2/–2 = m/m

     

    Luego la recta es perpendicular al plano.

     

     

  • Rectas perpendiculares 03

     

    Dada la recta:

     

     

    y el plano:

     

    π  2x + 3y + z = 0

     

    halla las ecuaciones de una recta s que se apoya en r perpendicularmente y está contenida en π.

     

     

    Solución:

    Para hallar las ecuaciones de la recta s buscaremos un punto, A, y un vector director, u.

     

     

     

    El punto A  es la intersección de la recta r y el plano π. Para ello pasamos a paramétricas las ecuaciones de r.

     

     

     

    Sustituimos el valor de la incógnitas en el plano para hallar el valor de l.

     

    2 (1 + 2λ) + 3 (–3 + 3λ) + (–2 – 4λ) = 0

     

    2 + 4λ – 9 + 9λ – 2 – 4λ = 0

     

     9λ – 9 = 0 λ = 1

     

    x = 1 + 2·1 = 3 

     

    y = –3 + 3·1 = 0 

     

    z = –2 – 4·1 = –6 

     

    A(3, 0, –6)

     

    El vector director u ha de ser perpendicular a v (vector director de la recta r) y a n (vector característico del plano π)

     

     

     

    = (15, –10, 0) (3, –2, 0)

     

    Ecuaciones continuas de la recta s: