Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Direcciones de rectas y planos 01

     

    Halla la dirección de la recta intersección de los planos:

     

     

     

    Solución:

    La dirección de una recta es la de su vector director.

    Por tanto necesitamos hallar un vector director de la recta dada, para lo cual debemos expresarla en forma paramétrica o continua. 

    Estamos ante un sistema con dos ecuaciones y tres incógnitas que ha de ser compatible indeterminado, o sea, con infinitas soluciones, cada una de las cuales es un punto de la recta en donde se cortan ambos planos.

     

     

     

    Si z = 2μ, μ es un número real, tenemos que:

     

     

     

    Ecuaciones paramétricas.

     

     

     

    El vector director es: (–1, 1, 2)

    También se puede hacer de la siguiente forma:

     

     

     

    Si n1 y n2 son los vectores normales de los planos cuya intersección es la recta r, y u es el vector director de dicha recta, tenemos que:

     

     

     

    Por tanto:

     

     

     

    O, también:

     

    (–1, 1, 2)

     

     

     

     

  • Rectas que se apoyan en otras dos 07

     

    Dada la recta:

      

     

    halla la ecuación de una paralela a ella que se apoya en las rectas:

     

     

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas:

    Vector director de s:

     

    u = (–4, 3, –2)

     

    Vector director de t:

     

    v = (–1, –2, 5)

     

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Ahora pasaremos a paramétricas ambas rectas:

     

     

     

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    1 – 11µ  = 0 → 11µ  = 1 → µ= 1/11

     

    –4λ = –1 – (1/11) = –12/11

     

    l  = 12/44 = 3/11

     

    Veamos si las soluciones halladas verifican la segunda ecuación:

    Primer miembro:

     

    2 + 3 (3/11) = 2 + (9/11) = 31/11

     

    Segundo miembro:

     

    3 – 2 (1/11) = 3 – (2/11) = 31/11

     

    Las soluciones halladas si verifican la segunda ecuación, por tanto el sistema es compatible, luego ambas rectas se cortan en un punto.

     

     

     

    Coordenadas del punto de corte A:

     

    x = –4 (3/11) = –12/11

     

    y = 2 + 3 (3/11) = 2 + (9/11) = 31/11

     

    z = –2 (3/11) = –6/11

     

    A(–12/11, 31/11, –6/11)

     

    Al ser paralelas la recta que se quiere hallar, r’,  tiene por vector director el mismo que el de la recta r, es decir, u = (3, 4, –1), por tanto sus ecuaciones paramétricas son:

     

     

     

     

     

     

  • Rectas que se apoyan en otras dos 06

     

    Dadas las rectas del espacio:

    a)  Di si se cortan, son paralelas, o se cruzan.

    b)  Halla la ecuación de la recta que pase por el origen y corta a las dos rectas dadas.

     

     

    Solución:

    a)  Pasando a paramétricas:

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de t: u = (1, –3, 1)

    Vector director de s: v = (5, 4, 1)

     

    (1/5) ≠ (–3/4) ≠ (1/1)

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si el valor encontrado verifica la segunda ecuación:

     

     

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

    b)    

     

     

     Sea r la recta buscada que vendrá determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por O(0, 0, 0) y por las rectas t y s, respectivamente.

    Ecuación general del plano α.

    Haz de planos de arista t:

     

    λ (x – z + 1) + μ (y + 3z – 2) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista t y que pasa por el punto O.

     

    λ (0 – 0 + 1) + μ (0 + 0 – 2) = 0

     

    λ – 2 μ = 0 λ = 2 μ

     

    Si: μ = 1, entonces λ = 2.

     

    2 (x – z + 1) + 1 (y + 3z – 2) = 0

     

    2x – 2z + 2 + y + 3z – 2 = 0

     

    α ≡ 2x + y + z = 0

     

    Ecuación general del plano β.

    Haz de planos de arista s:

     

    λ (x – 5z – 4) + μ (y – 4z + 3) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto O.

     

    λ (0 – 0 – 4) + μ (0 – 0 + 3) = 0

     

    –4λ + 3 μ = 0 λ = (3/4) μ

     

    Si: μ = 4, entonces λ = 3.

     

    3 (x – 5z – 4) + 4 (y – 4z + 3) = 0

     

    3x – 15z – 12 + 4y – 16z + 12 = 0

     

    β ≡ 3x + 4y – 31z = 0

     

    Ecuación general de la recta r:

     

     

     

     

     

     

  • Rectas que se apoyan en otras dos 05

     

    Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1, 1, 2) y corta a las rectas:

     

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas para lo cual se pasa a paramétricas ambas rectas.

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de s: u = (3, 1, –1)

    Vector director de t: v = (2, 1, 2)

     

    (3/2) ≠ (1/1) ≠ (–1/2)

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si las soluciones halladas verifican la tercera ecuación:

     

    Primer miembro: 1 – (–1) = 1 + 1 = 2

     

    Segundo miembro: –1 + 2·(–1) = –1 – 2 = –3

     

    2 ≠ –3

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

     

     

     

    Sea r la recta buscada que vendrá determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por P(1, 1, 2) y por las rectas s y t, respectivamente.

    Ecuación general del plano α.

    Primero pondremos en forma general la ecuación de t:

     

     

     

    Haz de planos de arista t:

     

    2x – 3y – 2 + k (y + 2z – 2) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista t y que pasa por el punto P.

     

    2 (1) – 3 (1) – 2 + k (1 + 2·2 – 2) = 0

     

    –3 + 3k = 0 k = 1

     

    2x – 3y – 2 + 1(y + 2z – 2) = 0

     

    2x – 3y – 2 + y + 2z – 2 = 0

     

    2x – 2y + 2z – 4 = 0

     

    α ≡ x – y + z – 2 = 0

     

    Ecuación general del plano β.

    Primero pasaremos a general la ecuación de s:

     

     

     

    Haz de planos de arista s:

     

    x – 2y + k (x – z – 1) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto P.

     

    1 – 2(1) + k (1 – 2 – 1) = 0

     

    –1 – 2k = 0 k = –1/2

     

    x – 2y + (–1/2) (x – z – 1) = 0

     

    2x – 4y – x + z + 1 = 0

     

    β ≡ x – 4y + z + 1 = 0 

     

    Ecuación general de la recta r:

     

     

     

     

     

     

  • Rectas que se apoyan en otras dos 04

     

    Halla la ecuación de la recta r  que pasa por el punto P(2, –1, 0) y corta a las rectas:

     

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas para lo cual se pasa a paramétricas ambas rectas.

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de t: u = (1, 1, 1)

    Vector director de s: v = (3, 1, –1)

    (1/3) ≠ (1/1) ≠ (1/–1)

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si las soluciones halladas verifican la tercera ecuación:

     

    1 – 1 = 0 ≠ 3

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

     

     

     

    La recta buscada viene determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por P y contienen a las rectas t y s, respectivamente.

    Ecuación general del plano α:

    Primero pondremos en forma general la ecuación de t:

     

     

     

    Haz de planos de arista t:

     

    x – y + k (x – z) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista t y que pasa por el punto P:

     

    2 – (–1) + k (2 – 0) = 0

     

    3 + 2 k = 0 k = –3/2

     

    x – y – (3/2) (x – z) = 0

     

    2x – 2y – 3x + 3z = 0

     

    α ≡ x + 2y – 3z = 0

     

    Ecuación general del plano β:

    Primero pasaremos a general la ecuación de s:

     

     

     

    Haz de planos de arista s:

     

    x – 3y + 6 + k (x + 3z – 3) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto P.

     

    2 – 3 (–1) + 0 + 6 + k (2 + 0 – 3) = 0

     

    11 – k = 0 k = 11

     

    x – 3y + 6 + 11x + 33z – 33 = 0

     

    12x – 3y + 33z – 27 = 0

     

    β ≡ 4x – y + 11z – 9 = 0

     

     Ecuación general de la recta r: