Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posición relativa de tres planos 04

     

    Determina para qué valores de a y b los planos:

    α 2x – y + 3z – 1 = 0

     

    β x + 2y – z + b = 0

     

    γ x + ay – 6z + 10 = 0

    a)  Tienen un solo punto en común.

    b)  Pasan por una recta.

    c)  Se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas.

     

     

    Solución:

     

     

     

    a)  Para tener un único punto en común el sistema ha de ser compatible determinado.

    Matriz del sistema:

     

     

     

    Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz del sistema no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas.

     

     

     

    = 2 (–12 + a) – (–1) (–6 + 1) + 3 (a – 2) =

     

    = –24 + 2a – 5 + 3a – 6 = 5a – 35

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera columna.

     

    5a – 35 = 0 5a = 35 a = 35/5 = 7

     

    Si: a 7, |A| 0, luego rg(A) = rg(A/B) = 3 = número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible determinado.

    Los tres planos se cortan en un único punto para a 7 y para todo b (b es un número real).

    b)  En este caso el sistema ha de ser compatible indeterminado, luego: a = 7.

    Como existe un determinante de rango 2 diferente de cero e independiente del valor de a:

     

     

     

    eliminando la tercera columna de la matriz del sistema y orlando la cuarta tenemos:

     

     

     

    = 2 (–20 + 7b) – (–1) (–10 + b) + 1 (7 – 2) =

     

    = –40 + 14b – 10 + b + 5 = 15b – 45

     

    15b – 45 = 0 15b = 45 b = 3

     

    Si: a = 7 y b = 3, rg(A) = rg(A/B) = 2 < número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible indeterminado y los tres planos se cortan en una recta (los infinitos puntos que son soluciones del sistema).

    c)  Si a = 7 y b  3, rg(A) = 2 y rg(A/B) = 3. Por tanto el sistema es incompatible y los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas, ya que los planos no son paralelos pues sus vectores característicos tampoco lo son, pues sus coordenadas no son proporcionales:

     

    ua = (2, –1, 3), ub = (1, 2, –1) y ug = (1, 7, –6)

     

     

     

     

     

     

     

  • Posición relativa de tres planos 03

     

    Estudia las posiciones relativas de los tres planos siguientes, según los valores de a y b.

     

    α  4ax + 3y – az = 9

     

    β ax + 2z = –15

     

    γ 2ax + y + az = b – 8

     

     

    Solución:

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas.

     

     

     

    = 4a (0 – 2) – 3 (a2 – 4a) – a (a – 0) =

     

    = –8a – 3a2 + 12a – a2 = –4a2 + 4a 

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.

    Veamos para qué valores de a  el determinante es igual a cero.

     

     

     

    Si: a  0 y a 1, para todo b (b es un número real), rg (A) = rg (A/B) = 3 = número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado con una única solución, el punto donde se cortan los tres planos.

    Si a = 0:

     

     

     

    = 3 (2b – 16 – 0) – 0 + 9 (0 – 2) =

     

    = 6b – 48 – 18 = 6b – 66 = 0

     

    6b = 66 b = 11

     

    Si: a = 0 y b = 11, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones que son los infinitos puntos de intersección de los tres planos. Luego  los planos se cortan en una recta.

    Si a = 0 y b 11, rg (A) = 2 < rg (A/B) = 3. El sistema es incompatible carece de solución. Los planos α y γ son paralelos (vectores normales (0, 3, 0) y (0, 1, 0)) y β es perpendicular a ambos (vector normal (0, 0, 1)).

     

     

     

    Si a = 1:

     

     

     

    = 4 (0 + 15) – 3 (b – 8 + 30) + 9 (1 – 0) =

     

    = 60 – 3b – 66 + 9 = 3 – 3b = 0

     

    3b = 3 b = 1

     

    Si: a = 1 y b = 1, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones que son los infinitos puntos de intersección de los tres planos. Luego  los planos se cortan en una recta.

    Si: a = 1 y b 1, rg (A) = 2 < rg (A/B) = 3. El sistema es incompatible carece de solución. Los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas, ya que los planos no son paralelos pues sus vectores normales tampoco lo son ya que sus coordenadas no son proporcionales.

     

    u1 = (4, 3, –1), u2 = (1, 0, 2) y u3 = (2, 1, 1)

     

     

     

     

  • Posición relativa de tres planos 02

     

    Halla los valores del parámetro a para que los tres planos: x + y + az =1, ax + y + z = 1 y 2x + y + z = a, tengan una recta en común. Halla también el vector de dirección de dicha recta.

     

    Solución:

    Para que los tres planos se corten en una recta, el sistema formado por las ecuaciones de dichos planos debe ser compatible indeterminado (los infinitos puntos son las infinitas soluciones del sistema). Por tanto: rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas.

     

     

     

    Si a = 2:

     

     

     

    = 1 (2 – 1) – 1 (4 – 2) + 1 (2 – 2) = 1 – 2 + 0 = –1 ¹ 0 rg (A/B) = 3

     

    Como: rg (A/B) > rg (A) el sistema es incompatible, por tanto los planos no se cortan en una recta.

    Si a = 1:

     

     

     

    El anterior determinante es igual a 0 porque tiene dos columnas iguales, por tanto rg (A/B) = 2.

    Como: rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas (tres), el sistema es compatible simplemente indeterminado (un grado de libertad) y los tres planos se cortan en una recta.

    Los tres planos se cortan en la recta:

     

     

     

    Para hallar el vector director pasaremos a paramétricas la anterior recta:

     

     

     

     

     

     

  • Posición relativa de tres planos 01

     

    Dados los planos:

    π1 x – 3y + 2z + 4 = 0

     

    π2 2x + y – 3z = –1

     

    π3 x + ay + z = 0

     

    estudia las posiciones relativas según los valores de a (a es un número real).

     

     

    Solución:

    POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS:

    Los tres planos se encuentran expresados en forma general.

     

     

     

    Sea S la matriz del sistema y S’ la matriz ampliada.

    Si: rg (S) = rg (S’) = 3, el sistema es compatible determinado.

    Los planos concurren en un mismo punto (forman un triedro).

    Si: rg (S) = 2 y rg (S’) = 3, el sistema es incompatible.

    Puede haber dos planos paralelos y otro que los corta, o puede tratarse de tres planos que se cortan dos a dos (forman un prisma triangular).

    Si: rg (S) = rg (S’) = 2, el sistema es compatible simplemente indeterminado.

    Los planos se cortan en infinitos puntos, o sea, en una recta.

    Si: rg (S) = 1 y rg (S’) = 2, el sistema es incompatible.

    Los tres planos son paralelos. Puede haber dos iguales.

    Si: rg (S) = rg (S’) = 1, el sistema es compatible doblemente indeterminado.

    Los tres planos coinciden (son el mismo).

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas.

     

     

     

    = 1 (1 + 3a) – (–3) (2 + 3) + 2 (2a – 1) =

     

    = 1 + 3a + 15 + 4a – 2 = 7a + 14

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.

    Veamos para qué valor de a el determinante es igual a cero.

     

    7a + 14 = 0 7a = –14 a = –14/7 = –2

     

    Si: a –2, rg (S) = rg (S’) = 3 = número de incógnitas. Por tanto el sistema es compatible determinado con una única solución, el punto donde concurren los tres planos.

    Si, a = –2:

     

     

     

    = 1 (0 – 2) – (–3) (0 + 1) – 4 (–4 – 1) =

     

    = –2 + 3 + 20 = 21 ¹ 0 rg (S’) = 3

     

    Si: a = –2, rg (S) = 2 y rg (S’) = 3, el sistema es incompatible y los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas, ya que los planos no son paralelos pues sus vectores normales tampoco lo son pues sus coordenadas no son proporcionales:

     

    u1 = (1, –3, 2), u2 = (2, 1, –3) y u3 = (1, –2, 1)

     

     

     

     

     

  • Haz de planos paralelos 01

     

    Sea π el plano de ecuación: 3x – 5y + z – 2 = 0. Halla la ecuación del plano α paralelo a π y que contiene al punto A(–3, 2,4).

     

     

    Solución:

    Haz de plano paralelos a π:

     

    3x – 5y + z + D = 0,   (Des un número real)

     

    Plano perteneciente al haz  y que pasa por el punto A:

     

    3 (–3) – 5 (2) + (4) + D = 0

     

    –9 – 10 + 4 + D = 0

     

    D = 15

     

    Ecuación del plano :

     

    α ≡ 3x – 5y + z + 15 = 0