Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posiciones relativas de dos planos 02

     

    Sean los planos:

     

     

    Determina  su posición relativa.

     

     

    Solución:

    Pasamos a forma general ambos planos eliminando los parámetros:

     

     

     

    (x – 1) (1 – 6) – (–y – 2 – 2z +6) + (3y + 6 + z – 3) = 0

     

    π ≡ –5x + 5 + y + 2z – 4 + 3y + z + 3 = 0

     

    π ≡ 5x – 4y – 3z – 4 = 0

     

     

     

    (x – 4) (–3 + 4) – (–2) (–3y – 3 + 2z – 6) + 5 (2y + 2 – z + 3) = 0

     

     µ ≡ x – 4 – 6y + 4z – 18 + 10y – 5 z + 25 = 0

     

     µ ≡ x + 4y – z + 3 = 0

     

     

     

    El sistema es compatible simplemente indeterminado ya que los rangos de la matriz del sistema (S) y la ampliada (A) son iguales pero menor que el número de incógnitas (3). Los planos se cortan en una recta.

     

     

     

     

  • Posiciones relativas de dos planos 01

     

    Determina la posición relativa de los planos:

    α: 2x – 3y – z + 5 = 0    y   φ: –4x + 6y + 2z – 10 = 0

     

     

    Solución:

    Posición relativa de dos planos:

    Sean los planos:

    π: Ax + By + Cz + D = 0 y π’: A’x + B’y + C’z + D’ = 0

    y la matriz:

     

     

     

    Si S es la matriz del sistema y S’ es la matriz ampliada, tenemos que:

    Si: rg (S) = rg (S’) = 2, el sistema es compatible simplemente indeterminado. Los planos se cortan en una recta (los infinitos puntos de la recta son soluciones del sistema formado por las ecuaciones de los dos planos)

    Si: rg (S) = rg (S’) = 1, el sistema es compatible doblemente indeterminado. Los planos son coincidentes (son el mismo plano)

    Si: rg (S) < rg (S’), el sistema es incompatible. Los planos son paralelos (no tienen ningún punto en común)

     

     

     

    Se puede ver que la segunda fila es combinación lineal de la primera (F2 = –2F1). Luego cualquier menor de orden 2 será igual a cero. Por tanto: rg (S) = rg (S’) = 1. El sistema es compatible doblemente indeterminado. Los planos son coincidentes.

     

     

     

     

  • Posiciones relativas de una recta y un plano 06

     

    En qué punto de un espejo plano de ecuación: 3x + 2y + z = 24, ha de incidir un rayo de luz que parte del punto A (1, 2, 3) para que al reflejarse pase por el punto B (5, –6, 5).

     

     

    Solución:

    Datos: π ≡ 3x + 2y + z = 24; A (1, 2, 3); B (5, –6, 5)

     

     

     

    Para solucionar este problema se debe hallar el punto A’, simétrico de A con respecto al plano π. Después se halla la recta s, que pasa por A’ y por B. Por último se busca la intersección de s con el plano π y se encuentra el punto M que es la solución del problema.

     

     

     

    Para poder hallar A’ necesitamos conocer las coordenadas P, pues es el punto medio del segmento AA’.

    Como P es la intersección de la recta r, perpendicular a π y que pasa por A, debemos hallar la ecuación de dicha recta para lo que debemos tener en cuenta que el vector u es el vector normal o asociado al plano, por tanto:

     

     

     

    Sustituyendo los valores de x, y, z de r en el plano π, podremos hallar las coordenadas de P.

     

    3 (1 + 3λ) + 2 (2 + 2λ) + 3 + λ = 24

     

    3 + 9λ + 4 + 4λ + 3 + λ = 24 14λ = 14

     

    λ = 14/14 = 1

     

    Coordenadas del punto P:

     

    x = 1 + 3·1 = 4

     

    y = 2 + 2·1 = 4

     

    z = 3 + 1 = 4

     

    P (4, 4, 4)

     

    Coordenadas de A’:

     

    (1 + x’)/2 = 4 1 + x’ = 8 x’ = 7

     

    (2 + y’)/2 = 4 2 + y’ = 8 y’ = 6

     

    (3 + z’)/2 = 4 3 + z’ = 8 z’ = 5

     

    A’ (7, 6, 5)

     

     

     

    Ecuación de la recta s:

    Vector director:

     

     

    Las coordenadas del punto M se pueden averiguar hallando el punto de corte de la recta s y el plano π.

     

    3 (5 – 2μ) + 2 (–6 – 12μ) + 5 = 24

     

    15 – 6μ – 12 – 24μ + 5 = 24   –30μ = 16

     

    μ = –16/30 = –8/15

     

    Coordenadas de M:

      

    x = 5 – 2 (–8/15) = 5 + (16/15) = 91/15

     

    y = –6 – 12 (–8/15) = –6 + (96/15) = 6/15 = 2/5

     

    z = 5

     

    M (91/15, 2/5, 5)

     

     

     

     

  • Posiciones relativas de una recta y un plano 05

     

    Sean el plano:

    π ≡ y + z =3

     

    y la recta:

     

     

     

    Calcula los valores de m:

    a)  Para que la recta corte al plano.

    b)  Para que la recta esté contenida en el plano.

     

     

    Solución:

    Primero pasaremos a paramétricas la ecuación de la recta.

     

     

     

    a)  Sustituyendo en el plano los de las incógnitas por los de la recta tendremos:

     

    (–1 + mλ) + (1 – λ) = 3

     

    –1 + mλ + 1 – λ = 3

     

    λ(m – 1) = 3  λ = 3/(m – 1)

     

    Para que  la ecuación tenga solución el denominador ha de ser diferente de cero, por tanto:

     

    m – 1 0 m 1

     

    b)  Como el numerador de la fracción λ = 3/(m – 1) no puede ser cero para cualquier valor de m, el sistema no puede ser compatible indeterminado, luego el plano no contiene a la recta sea cual sea el valor de m.

     

     

     

     

  • Posiciones relativas de una recta y un plano 04

     

    Halla las posiciones relativas del plano:

     

    y la recta:

     

     

     

    según los valores de a y b (a y b son números reales)

     

     

    Solución:

    Pasemos a implícitas las ecuaciones del plano y de la recta.

    Para hallar la ecuación implícita del plano debemos eliminar los parámetros λ y µ.

     

     

     

    (z – 3) (1 + 1) = 0 2z – 6 = 0

     

    π ≡  z – 3 = 0

     

    Ecuación de la recta:

     

    (x – 1)/3 = (y + 2)/1 x – 1 = 3y + 6

     

    x – 3y – 7 = 0

     

    (x – 1)/3 = (z + b)/(a – 2) (x – 1) (a – 2) = 3z + 3b

     

    (a – 2) x – 3z – a + 2 = 3b ax – 2x – 3z – a + 2 = 3b

     

    (a – 2) x – 3z + (2 – a – 3b) = 0

     

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas.

     

     

     

    a = 6/3 =2

     

    Si a 2 rg (A) = 3.

    Si a = 2:

     

     

     

    –3b = 9 b = –3

     

    Si b = –3 rg (A/B) = –3, si b –3 rg (A/B) = 3.

    Conclusión:

    Si a = 2 y b = –3 rg (A) = rg (A/B) =2. El plano contiene a la recta.

    Si a = 2 y b –3 rg (A) = 2 < rg (A/B) = 3. El plano y la recta no tienen ningún punto en común, por tanto son paralelos.

    Si a 2 y para todo b (b es un número real) rg (A) = rg (A/B) = 3. La recta y el plano se cortan en un punto.