Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posiciones relativas de dos rectas 03

     

    Hallar a para que las rectas:

     

     

     

    sean secantes, y en tal caso, hallar el plano que determinan.

     

     

    Solución:

    Condiciones que se deben cumplir para las diferentes posiciones que existen entre dos rectas en el espacio:

     

     

     

    Sea S la matriz del sistema y S’ la matriz ampliada.

    Si: rg(S) = rg(S’) = 2, el sistema es compatible simplemente indeterminado.

    Las rectas son iguales.

    Si: rg(S) = 2 y rg(S’) = 3, el sistema es incompatible (carece de solución).

    Las rectas son paralelas disjuntas.

    Si: rg(S) = rg(S’) = 3, el sistema compatible determinado.

    Las rectas se cortan en un punto.

    Si: rg(S) = 3 y rg(S’) = 4, el sistema es incompatible.

    Las rectas se cruzan.

     

     

     

    Si: a = –11, rg(S’) 3.

    Veamos si existe un menor de orden 3:

     

     

     

    Por tanto si: a = –11, rg(S) = rg(S’) = 3. Las rectas se cortan en un punto.

    Para hallar la ecuación del plano que ambas rectas determinan debemos tener un punto y dos vectores directores, para lo cual pondremos en forma paramétrica r y s.

     

     

     

    Pongamos en paramétricas a s:

     

     

     

    Ecuación paramétrica del plano determinado por r y s:

     

     

     

    Eliminado los parámetros se obtiene la ecuación general de π:

     

     

     

    (x – 1) (–6 + 2) – (y + 5) (4 – 8) + (z +1) (–2 + 12) =

     

    = –4 (x – 1) + 4 (y + 5) + 10 (z + 1) =

     

    = –2 (x – 1) + 2 (y + 5) + 5 (z + 1) =

     

    = –2x + 2 + 2y + 10 + 5z + 5 = 0

     

    π ≡ 2x – 2y – 5z – 17 = 0

     

     

     

     

  • Posiciones relativas de dos rectas 02

     

    Determina razonadamente si las rectas:

     

     

    se cortan o se cruzan.

     

     

    Solución:

    Pasando a paramétricas:

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de r:

     

    u = (1, 5, 3)

     

    Vector director de s:

     

    v = (1, –1, 1)

     

    1/1 5/(–1)  3/1

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si el valor encontrado verifica la segunda ecuación:

    Primer miembro:

     

    –1 + 5(0) = –1

     

    Según miembro:

     

    1 – (0) = 1

     

    –1 1

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

     

     

     

     

  • Posiciones relativas de dos rectas 01

     

    Halla la posición relativa de las rectas:

     

     

     

     

    Solución:

    Vectores directores de ambas rectas:

     

     

     

    Como tienen sus coordenadas proporcionales: [2/(–4)] = [3/(–6)] = [4/(–8)], las rectas son paralelas disjuntas o coincidentes.

    Si ambas rectas son coincidentes, cualquier punto de una de ellas también lo será de la otra.

    Un punto de r es A(1, –1, 2). Veamos si pertenece a s:

     

     

     

    Las rectas son paralelas disjuntas.

    También se puede hacer de la siguiente forma:

    Condiciones que se deben cumplir para las diferentes posiciones que existen, en el espacio, entre dos rectas:

     

     

     

    Como:

     

     

     

    las rectas son paralelas disjuntas.

     

     

  • Intersección de recta y plano 02

     

    Dado el plano π ≡ y + z = 3 y la recta variable r x – 3 = (y +1)/m = 1 – z, calcula los valores de m para que:

    a)  r corte al plano π.

    b)  El ángulo que forma el plano y la recta sea igual a 30º.

     

     

    Solución:

    a)  Ecuación paramétrica de la recta r:

     

     

     

    Un punto genérico de r es: (3 + λ, –1 + mλ, 1 – λ) y si pertenece a π se debe cumplir que:

     

    –1 + mλ + 1 – λ = 3

     

    mλλ = 3  λ (m – 1) = 3 λ = 3/(m – 1) 1

     

    Por tanto m puede ser cualquier número real excepto 1.

    b)    

     

     

     

    Producto escalar de los vectores normal del plano y director de la recta:

     

     

     

    α = 90º – 30º = 60º

     

    Vector normal del plano:

     

     

     

    Vector director de la recta:

     

     

     

    4 (m – 1)2 = 2 (2 + m2)

     

    2 (m – 1)2 = 2 + m2

     

    2 (m2 – 2m + 1) = 2 + m2

     

    2m2 – 4m + 2 = 2 + m2

     

    m2 – 4m = 0 m (m – 4) = 0

     

    Primer solución: m = 0

    Segunda solución: m – 4 = 0 m = 4