Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posiciones relativas de una recta y un plano 02

     

    Determina la posición relativa del la recta:

     

     

    y el plano:

     

    π : 2x – y + z + 5 = 0

     

     

    Solución:

     Pasemos a paramétricas la ecuación de la recta.

     

     

     

    Sustituyendo las incógnitas del plano por las de la recta tendremos:

     

    2·(1 + 2λ) + 3 – 4 + 5 = 0

     

    2 + 4λ + 4 = 0 4λ = –6 λ = –6/4 = –3/2

     

    El sistema es compatible determinado, por tanto la recta y el plano se cortan en un punto.

    Coordenadas del punto de corte:

     

    x = 1 + 2·(–3/2) = –2, y = –3, z = –4

     

    Se puede pensar que los denominadores de las “fracciones” no pueden ser igual a cero, pero en sentido estricto, no son fracciones. Por lo tanto no tienen ni numerador ni denominador.

     

     

     

     

  • Posiciones relativas de una recta y un plano 01

     

    Halla la posición relativa de la recta:

     

     

     

    y el plano:

     

     

     

     

    Solución:

    Pasemos a paramétricas la ecuación de la recta y a general la ecuación del plano.

     

     

     

    Para hallar la ecuación general del plano debemos eliminar los parámetros  αβ.

     

     

     

     (x – 1) (1 – 2) – 2 (y – 2z – 2) – (y – z – 1) = 0

     

    –x + 1 – 2y + 4z + 4 – y + z +1 = 0

     

     –x – 3y + 5z + 6 = 0

     

    π ≡ x + 3y – 5z – 6 = 0

     

    Sustituyendo las incógnitas del plano por las de la recta tendremos:

     

    1 + λ + 3 (–2 + 3λ) – 5 (2λ) – 6 = 0

     

    1 + λ – 6 + 9λ – 10λ – 6 = 0

     

    10λ – 10λ = 11 0 = 11

     

    El sistema formado por la recta y el plano es incompatible, carece de solución. Por tanto la recta y el plano son paralelos (no tienen ningún punto en común)

     

     

     

     

  • Posiciones relativas de dos rectas 06

     

    Estudia la posición relativa de las rectas:

     

     

     

     

    Solución:

    Condiciones que se deben cumplir para las diferentes posiciones que existen, en el espacio, entre dos rectas:

     

     

     

    Punto perteneciente a la recta r: P(0, 2, 1)

    Punto perteneciente a la recta s: P’(2, –2, 7)

     

     

     

    Vector director de r:

     

     

     

    Vector director de s:

     

     

     

    Las rectas coinciden, o sea, son la misma.

    También se puede hacer de la siguiente forma:

    Vectores directores de ambas rectas:

     

     

     

    Como tienen sus coordenadas proporcionales: (1/2) = (–1/–2) = (3/6), las rectas son paralelas disjuntas o coincidentes.

    Si ambas rectas son coincidentes, cualquier punto de una de ellas también lo será de la otra.

    Un punto de r es P(0, 2, 1). Veamos si pertenece a s:

     

     

     

    El punto P pertenece a ambas rectas. Por tanto las rectas r y s son la misma.

     

     

     

     

  • Posiciones relativas de dos rectas 05

     

    Dadas las rectas:

     

     

     

    a)  Calcula k para que corten.

    b)  ¿Cuál es la posición relativa de estas rectas para k = 0? ¿Por qué?

     

     

    Solución:

    Primero pasaremos a  implícitas las ecuaciones de las rectas.

     

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Para que ambas recta se corten, el sistema ha de ser compatible determinado, o sea, con una única solución que es el punto de intersección, por tanto:

     

    rg (A) = 3 |A| = 0 

     

     

     

    a)     

    Si: k = 28/5 el sistema es compatible determinando y las rectas se cortan en un punto.

    b)               

    Si: k = 0 ¹ 28/5 rg (A) = 4 > rg (S), pues el rango de la matriz de los coeficientes, (S), es 3, por tanto las rectas se cruzan.

     

     

     

  • Posiciones relativas de dos rectas 04

     

    Sean las rectas:

     

    determina su posición relativa.

     

     

    Solución:

    Primero se pasa a implícitas las ecuaciones de la recta r:

     

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Ahora se estudia el rango de la matriz ampliada:

     

     

     

    Como el rango de la matriz ampliada es 4 y la matriz de los coeficientes solamente puede ser igual a 3 como máximo, las rectas se cruzan.