Intersección de recta y plano 01

Halla el punto de intersección de la recta:

y el plano: π ≡ 3x + 2y – 11z = 5.

Solución:

Sustituyamos el valor de las incógnitas de r en π.

3 (2t) + 2 (3t + 1) – 11 (t) = 5

6t + 6t + 2 – 11t = 5

t = 5 – 2 = 3

Pongamos el valor de t en la recta y habremos encontrado el punto de intersección.

x = 2·3 = 6;    y = 3·3 + 1 = 10;    z = 3

El punto de intersección tiene por coordenadas (6, 10, 3)

Rectas secantes 03

Averigua para qué valor de m la recta:

se corta con la recta:

 y halla ese punto.

Solución:

Pasemos a implícitas las ecuaciones de la recta s:

Para que ambas rectas sean secantes deben cortarse en un punto, por tanto el sistema que formemos con ambas ecuaciones ha de ser compatible determinado, o sea, que el rango de la matriz de los coeficientes, (A), y el rango de la matriz ampliada, (A/B), han de ser iguales e iguales al número de incógnitas, es decir, 3.

= –4 (1 – 2m + 4) – 6 (6 – 1) =

= –20 + 8m – 30 = 8m – 50 = 0

m = 50/8 = 25/4

Punto de corte:

Eliminando la primera ecuación por ser combinación lineal de las otras para m = 25/4, tenemos que:

Las coordenadas del punto de corte son: (3/2, –1/4, 21/4)

Rectas secantes 02

Halla las ecuaciones de una recta que se corte con: x/2 = y = z – 1, en el punto A(4, 2, 3).

Solución:

Primero veamos si el punto A pertenece a la recta.

4/2 = 2 = 3 – 1 → 2 = 2 = 2

Como el punto pertenece a la recta cualquier otra recta será válida, por tanto la recta buscada es:

pudiendo colocar en los denominadores cualquier valor real, excepto las ternas proporcionales a (2, 1, 1), pues coincidirían con la recta dada, y los valores a = b = c = 0, ya que entonces las ecuaciones darían como resultado a x = 4, y = 2, z = 3 que es un punto y no una recta.

Rectas secantes 01

Halla b para que las rectas:

sean secantes.

Solución:

Pasemos ambas rectas a paramétricas:

Para que ambas rectas sean secantes deben cortarse en un punto, por tanto el sistema que formemos con ambas ecuaciones ha de ser compatible determinado.

Plano y recta paralelos 04

Halla la ecuación general del plano que contiene a la recta:

y es paralelo a la recta:

Solución:

El plano que buscamos, π, debe contener a la recta r por tanto el punto A(–5, –4, 0) y el vector u = (11, 14, 1) pertenecientes a r también pertenecen a π.

Como π ha de ser paralelo a s, un vector director de ésta también lo es de aquél, es decir, v = (–1, –1, –5).

Ecuaciones paramétricas de π:

Para expresarlo en forma general hemos de eliminar los parámetros α y β.

= (x + 5)·( –70 + 1) – (y + 4)·( –55 + 1) + z·(–11 + 14) = 0

–69x – 345 + 54y + 216 + 3z = 0

69x – 54y – 3z + 129 = 0