Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Planos paralelos 02

     

    Calcula m y n para que el plano: π  3y + mz + n = 0 sea paralelo al π’  y – 2z + 7 = 0 y pase por el punto P(1, –2, 3)

     

     

    Solución:

    Para que los dos planos sean paralelos, los coeficientes de sus incógnitas deben ser proporcionales, luego:

     

     

    Como el plano π debe  pasar por el punto P, se tiene que:

     

    3·(–2) – 6·(3) + n = 0

     

    –6 – 18 + n = 0 n = 24

     

     

     

     

  • Planos paralelos 01

     

    Halla una ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto P(2, –1, 3) y es paralelo al plano determinado por la ecuación implícita:  π  3x + 2y + 5z = 4.

     

    Solución:

     

     

     

    Sea a el plano buscado.

    Si ambos planos son paralelos tendrán el mismo vector normal o asociado, luego la ecuación general de α será:

     

    π  3x + 2y + 5z = D

     

    y como debe pasar por el punto P:

     

    3·2 + 2·(–1) + 5·3 = D

     

    D = 19

     

    Ecuación del plano α:

     

    α 3x + 2y + 5z – 19 = 0

     

     

     

     

  • Rectas paralelas 03

     

    Calcula k para que sean paralelas las rectas:

     

     

     

    Solución:

    Primero pasaremos a paramétricas ambas rectas:

     

     

     

    Vector director de la recta r:

     

     

     

    Vector director de la recta s:

     

     

     

    Para que ambas rectas sean paralelas, las coordenadas de sus vectores directores han de ser proporcionales, es decir:

     

     

     

     

     

  • Rectas paralelas 02

     

    Halla a y b para que las rectas siguientes sean paralelas:

     

     

     

     

    Solución:

    Pasemos a implícitas las ecuaciones de la recta s.

     

     

     

    Si los rangos de la matriz de los coeficientes, (A), y de la matriz ampliada, (A/B), son iguales a 2, las rectas son iguales.

    Si el rango de la matriz (A) es 2 y la de la matriz (A/B) es 3, las rectas son paralelas disjuntas.

     

     

     

    Si a = 1 y b = –2 rg (A) = 2, ya que existe un menor de orden 2 diferente de cero:

     

     

     

    Estudiemos el rango de la matriz ampliada para a = 1 y b = –2.

     

     

     

    El valor del último determinante es cero ya que tiene dos filas iguales.

    Por tanto:

     

     

     

    Luego:

    Si a = 1 y b = –2 rg (A) = 2 y rg (A/B) = 3, luego las rectas son paralelas disjuntas.

    También se puede hacer de la siguiente forma:

     

     

     

    Como las rectas han de ser paralelas, el vector director de s y los vectores característicos de los planos que engendran la recta r, han de ser perpendiculares, luego sus productos escalares han de ser igual a cero.

     

    (1, 2, 4)·(2, a, –1) = 0

     

    2 + 2a – 4 = 0 2a = 2 a =1

     

    (1, 2, 4)·(2, 3, b) = 0

     

    2 + 6 + 4b = 0 4b = –8 b = –2

     

     

     

     

  • Rectas paralelas 01

     

    Halla, en forma implícita, la ecuación de la recta que pasa por el punto A(0, 2, –1) y es paralela a la recta determinada por:

     

     

     

    Solución:

    Sea s la recta que pasa por A. Para poder hallar su ecuación se necesita un vector director de la misma.

    Como la recta s ha de ser paralela a r, un vector director de esta última también lo será de la primera. Por tanto se trata de encontrar un vector director de r, para lo cual pasaremos a paramétricas las ecuaciones de r.

    Estamos ante un sistema con dos ecuaciones y tres incógnitas que ha de ser compatible indeterminado, o sea, con infinitas soluciones, cada una de las cuales es un punto de la recta r en donde se cortan ambos planos.

     

     

     

    Si x = λ, (λ es un número real) y resolviendo en y, z, tenemos las ecuaciones paramétricas.

     

     

     

    El vector director buscado es:

     

     

     

    Ecuaciones continuas de s:

     

     

     

    Ecuaciones implícitas de s: