Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuaciones del plano 03

     

    Halla la ecuación cartesiana del plano p, respecto del cual el punto A(1, 2, 3) es el simétrico del A’(3 , –4, 1).

     

     

    Solución:

     

     

     

    Para hallar la ecuación del plano p necesitamos conocer las coordenadas del vector característico n y del punto M.

    M es el punto medio del segmento AA’, luego:

     

    x = (1 + 3)/2 = 2, y = (2 – 4)/2 = –1, z = (3 + 1)/2 = 2

     

    M(2, –1, 2)

     

    Vector característico:

     

     

     

    Ecuación general de π:

     

    2x – 6y – 2z + D = 0

     

    Por contener a M:

     

    2·2 – 6·(–1) – 2·2 + D = 0

     

    4 + 6 – 4 + D = 0 D = –6

     

    Ecuación cartesiana del plano π:

     

    π: 2x – 6y – 2z – 6 = 0

     

    Simplificando:

     

    π: x – 3y – z – 3 = 0

     

     

     

     

  • Ecuaciones del plano 02

     

    Sea el plano 4x + y – z = 2. Halla:

    a)  La ecuación paramétrica del plano.

    b)  Las coordenadas de sus vectores directores.

    c)  Un punto perteneciente al plano.

     

     

    Solución:

    a)  Si x = a y z = b, tenemos que:

     

    4a + y – b = 2 y = 2 – 4a + b

     

    Ecuación paramétrica del plano: 

     

     

     

    b)  Coordenadas de los vectores directores (son los coeficientes de a y de b :

     

    (1, –4, 0) y (0, 1, 1)

     

    c)  Coordenadas de un punto (son los valores del término independiente).

     

    (0, 2, 0)

     

     

     

     

     

     

  • Ecuaciones del plano 01

     

    Halla la ecuación vectorial, paramétrica y general del plano que pasa por el punto A(–1, 0, 2) y tiene por vectores direccionales d1 = (1, –1, 1) y d2 = (2, 1, –1).

    Solución:

     

     

     

    Ecuación vectorial:

     

     

     

    Ecuación paramétrica:

     

     

     

    Ecuación general:

    Eliminado los parámetros a y b se obtiene la ecuación general o implícita.

     

     

     

     

     

  • Puntos en el espacio 04

     

    Halla a para que los puntos: A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(–2, 1, 3) y D(a, a – 1, 2), sean coplanarios.

     

     

    Solución:

     

     

    Para que los cuatro puntos sean coplanarios, los vectores AB, AC y AD, han de ser linealmente dependientes.

     

     

     

    4 – a = 0 a = 4

     

    También se puede resolver de la siguiente forma:

    Se halla la ecuación del plano que pasa por A y sus vectores directores son: AB y AC.

     

     

     

    Como el punto D se debe encontrar en el plano π:

     

     

     

     

     

  • Puntos en el espacio 03

     

    Comprueba si los puntos A, B, C están alineados: A(1, 1, 1), B(2, 0, 1) y C(0, 2, 1)

     

    Solución:

    Datos: A(1, 1, 1), B(2, 0, 1) y C(0, 2, 1)

    Vector director de la recta que pasa por los puntos A y B:

     

     

     

    Ecuación paramétrica de la recta que pasa por A y B:

     

     

     

    Si los tres puntos están alineados la recta r  pasará por el punto C y los valores de este punto verificarán la anterior ecuación.

     

     

     

    Por tanto los tres puntos están alineados.