Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuaciones de la recta 02

     

    Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–1, 1, 0) y B(2, –3, 1) en forma: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua y d) implícita.

     

     

    Solución:

    a)  Ecuación vectorial.

    Vector director:

     

     

     

     (x, y, z) = (–1, 1, 0) + λ (3, –4, 1)

     

    b)  Ecuación paramétrica:

     

    (x, y, z) = (–1, 1, 0) + λ (3, –4, 1) (x, y, z) = (–1, 1, 0) +  (3λ, –4λλ)

     

    (x, y, z) = (–1 + 3λ, 1 – 4λ, 0 + λ)

     

     

     

    c)  Ecuación continua:

     

     

     

    d)  Ecuación implícita o reducida (como intersección de dos planos):

     

     

     

     

     

     

  • Ecuaciones de la recta 01

     

    Halla la ecuación de la recta en forma vectorial, paramétrica, continua e implícita o reducida, sabiendo que pasa por el punto (1, 1, 1) y tiene como vector direccional (1, 2, 3).

     

     

    Solución:

    Sea la recta r que pasa por un punto y tiene por vector director d.

     

     

     

    Ecuación vectorial de la recta r:

     

     

     

    siendo P un punto genérico de la recta r, de coordenadas (x, y, z) y λ un parámetro.

     

    r:(x, y, z) = (1, 1, 1) + λ (1, 2, 3)

     

    Ecuación paramétrica de r:

     

    (x, y, z) = (1, 1, 1) + (λ, 2λ, 3λ) = (1 + λ, 1 + 2λ, 1 + 3λ)

     

     

     

    Ecuación continua:

     

     

     

    Ecuación implícita o reducida (como intersección de dos planos):

     

     

     

     

     

     

  • Producto mixto 03

     

    Calcula el valor de m para que los vectores: a = (3, –5, 1), b = (m, 4, 2) y c = (1, 1, 1) sean coplanarios.

     

    Solución:

    Si los vectores dados son coplanarios (están en el mismo plano), el volumen del paralelepípedo definido por ellos ha de ser igual a cero. Luego:

     

     

     

    3·(4 – 2) – (–5)·(m – 2) + 1·(m – 4) = 0

     

    6 + 5m – 10 + m – 4 = 0

     

    6m = 8 m = 8/6 = 4/3

     

     

     

     

  • Producto mixto 02

     

    Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores: a = (1, 0, 2), b = (–5, 1, 7) y c = (3, 5 ,2).

     

    Solución:

     

     

     

    El volumen de un paralelepípedo es igual al producto mixto de los vectores que lo determinan. Por tanto:

     

     

     

    El volumen del paralelepípedo es de 89 u3.

     

     

     

     

  • Producto mixto 01

     

    Halla el producto mixto de los vectores a = (0, 2, –5); b = (1, –1, –2) y c = (2, –1, 3).

     

    Solución:

    Producto mixto:

     

     

     

    También se puede hacer de la siguiente manera: