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Ecuaciones de la recta 02
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–1, 1, 0) y B(2, –3, 1) en forma: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua y d) implícita.
Solución:
a) Ecuación vectorial.
Vector director:
(x, y, z) = (–1, 1, 0) + λ (3, –4, 1)
b) Ecuación paramétrica:
(x, y, z) = (–1, 1, 0) + λ (3, –4, 1) → (x, y, z) = (–1, 1, 0) + (3λ, –4λ, λ)
(x, y, z) = (–1 + 3λ, 1 – 4λ, 0 + λ)
c) Ecuación continua:
d) Ecuación implícita o reducida (como intersección de dos planos):
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Ecuaciones de la recta 01
Halla la ecuación de la recta en forma vectorial, paramétrica, continua e implícita o reducida, sabiendo que pasa por el punto (1, 1, 1) y tiene como vector direccional (1, 2, 3).
Solución:
Sea la recta r que pasa por un punto y tiene por vector director d.
Ecuación vectorial de la recta r:
siendo P un punto genérico de la recta r, de coordenadas (x, y, z) y λ un parámetro.
r:(x, y, z) = (1, 1, 1) + λ (1, 2, 3)
Ecuación paramétrica de r:
(x, y, z) = (1, 1, 1) + (λ, 2λ, 3λ) = (1 + λ, 1 + 2λ, 1 + 3λ)
Ecuación continua:
Ecuación implícita o reducida (como intersección de dos planos):
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Producto mixto 03
Calcula el valor de m para que los vectores: a = (3, –5, 1), b = (m, 4, 2) y c = (1, 1, 1) sean coplanarios.
Solución:
Si los vectores dados son coplanarios (están en el mismo plano), el volumen del paralelepípedo definido por ellos ha de ser igual a cero. Luego:
3·(4 – 2) – (–5)·(m – 2) + 1·(m – 4) = 0
6 + 5m – 10 + m – 4 = 0
6m = 8 → m = 8/6 = 4/3
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Producto mixto 02
Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores: a = (1, 0, 2), b = (–5, 1, 7) y c = (3, 5 ,2).
Solución:
El volumen de un paralelepípedo es igual al producto mixto de los vectores que lo determinan. Por tanto:
El volumen del paralelepípedo es de 89 u3.
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Producto mixto 01
Halla el producto mixto de los vectores a = (0, 2, –5); b = (1, –1, –2) y c = (2, –1, 3).
Solución:
Producto mixto:
También se puede hacer de la siguiente manera:
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