Ecuaciones de la recta 02

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–1, 1, 0) y B(2, –3, 1) en forma: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua y d) implícita.

Solución:

a)  Ecuación vectorial.

Vector director:

 (x, y, z) = (–1, 1, 0) + λ (3, –4, 1)

b)  Ecuación paramétrica:

(x, y, z) = (–1, 1, 0) + λ (3, –4, 1) → (x, y, z) = (–1, 1, 0) +  (3λ, –4λ, λ)

(x, y, z) = (–1 + 3λ, 1 – 4λ, 0 + λ)

c)  Ecuación continua:

d)  Ecuación implícita o reducida (como intersección de dos planos):

Ecuaciones de la recta 01

Halla la ecuación de la recta en forma vectorial, paramétrica, continua e implícita o reducida, sabiendo que pasa por el punto (1, 1, 1) y tiene como vector direccional (1, 2, 3).

Solución:

Sea la recta r que pasa por un punto y tiene por vector director d.

Ecuación vectorial de la recta r:

siendo P un punto genérico de la recta r, de coordenadas (x, y, z) y λ un parámetro.

r:(x, y, z) = (1, 1, 1) + λ (1, 2, 3)

Ecuación paramétrica de r:

(x, y, z) = (1, 1, 1) + (λ, 2λ, 3λ) = (1 + λ, 1 + 2λ, 1 + 3λ)

Ecuación continua:

Ecuación implícita o reducida (como intersección de dos planos):

Producto mixto 03

Calcula el valor de m para que los vectores: a = (3, –5, 1), b = (m, 4, 2) y c = (1, 1, 1) sean coplanarios.

Solución:

Si los vectores dados son coplanarios (están en el mismo plano), el volumen del paralelepípedo definido por ellos ha de ser igual a cero. Luego:

3·(4 – 2) – (–5)·(m – 2) + 1·(m – 4) = 0

6 + 5m – 10 + m – 4 = 0

6m = 8 → m = 8/6 = 4/3

Producto mixto 02

Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores: a = (1, 0, 2), b = (–5, 1, 7) y c = (3, 5 ,2).

Solución:

El volumen de un paralelepípedo es igual al producto mixto de los vectores que lo determinan. Por tanto:

El volumen del paralelepípedo es de 89 u³.

Producto mixto 01

Halla el producto mixto de los vectores a = (0, 2, –5); b = (1, –1, –2) y c = (2, –1, 3).

Solución:

Producto mixto:

También se puede hacer de la siguiente manera: