Producto vectorial de vectores 01

Calcula el vector c, producto vectorial de los vectores a = (1, 2, 3) y b = (–1, 1, 2). Comprueba que c es perpendicular a cada uno de los vectores dados.

Solución:

Producto vectorial:

Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero.

Los vectores a y c son perpendiculares y lo mismo ocurre con b y c.

Producto escalar de vectores 04

a)  Sean los vectores

Halla x e y para que:

sea perpendicular al vector b y tenga el módulo de a.

b)  Halla un vector unitario ortogonal a los vectores a y b ¿Hay más de una solución? Si es así, debes dar la solución general.

c)  Halla el área del paralelogramo de lados a y b.

Solución:

a)  Para que c sea perpendicular a b, se debe cumplir que:

Por tanto:

Sustituyendo el valor de x encontrado en la primera ecuación:

b)  Sea el vector v = (x, y, z):

Si v es ortogonal al vector a, entonces v·a = 0 y lo mismo ocurre con b, por tanto:

Existen infinitas soluciones.

Expresión general del vector unitario:

Solución particular:

c)               

Área del paralelogramo:

Producto escalar de vectores 03

Sean los vectores a = (1, 2, –3) y b = (–2, 4, 1). Se pide:

a)  El ángulo que forman ambos vectores.

b)  Los cosenos directores de a.

c)  Halla un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que b.

d)  Normaliza el vector a.

Solución:

a)  Producto escalar de dos vectores:

Como a es el ángulo que forman ambos vectores, debemos despejarla de la anterior expresión.

b)  Si a, b y g, son los ángulos que el vector a forma con los ejes de coordenada, sus cosenos directores son:

c)  Sea u el vector unitario buscado:

d)  Normalizar un vector consiste en encontrar un vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector dado.

Producto escalar de vectores 02

Solución:

Primero efectuaremos el siguiente producto, con el fin de obtener la última expresión dada en el enunciado del problema:

Por tanto:

Producto escalar de vectores 01

¿Por qué?

Solución:

La respuesta es no, porque el coseno de un ángulo no puede ser mayor que 1.