Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Producto vectorial de vectores 01

     

    Calcula el vector c, producto vectorial de los vectores a = (1, 2, 3) y b = (–1, 1, 2). Comprueba que c es perpendicular a cada uno de los vectores dados.

     

    Solución:

    Producto vectorial:

     

     

     

    Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero.

     

     

     

    Los vectores a y c son perpendiculares y lo mismo ocurre con b y c.

     

     

  • Producto escalar de vectores 04

     

    a)  Sean los vectores

     

    Halla x e y para que:

     

     

     

    sea perpendicular al vector b y tenga el módulo de a.

    b)  Halla un vector unitario ortogonal a los vectores a y b ¿Hay más de una solución? Si es así, debes dar la solución general.

    c)  Halla el área del paralelogramo de lados a y b.

     

     

    Solución:

    a)  Para que c sea perpendicular a b, se debe cumplir que:

     

     

     

    Por tanto:

     

     

     

    Sustituyendo el valor de x encontrado en la primera ecuación:

     

     

    b)  Sea el vector v = (x, y, z):

    Si v es ortogonal al vector a, entonces v·a = 0 y lo mismo ocurre con b, por tanto:

     

     

     

    Existen infinitas soluciones.

    Expresión general del vector unitario:

     

     

     

    Solución particular:

     

     

     

    c)               

     

     

     

    Área del paralelogramo:

     

     

     

     

     

  • Producto escalar de vectores 03

     

    Sean los vectores a = (1, 2, –3) y b = (–2, 4, 1). Se pide:

    a)  El ángulo que forman ambos vectores.

     

    b)  Los cosenos directores de a.

    c)  Halla un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que b.

    d)  Normaliza el vector a.

     

     

    Solución:

    a)  Producto escalar de dos vectores:

      

     

    Como a es el ángulo que forman ambos vectores, debemos despejarla de la anterior expresión.

     

     

     

    b)  Si a, b y g, son los ángulos que el vector a forma con los ejes de coordenada, sus cosenos directores son:

     

     

     

    c)  Sea u el vector unitario buscado:

     

     

     

     

    d)  Normalizar un vector consiste en encontrar un vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector dado.

     

     

     

     

  • Producto escalar de vectores 02

     

     

     

    Solución:

    Primero efectuaremos el siguiente producto, con el fin de obtener la última expresión dada en el enunciado del problema:

     

     

    Por tanto:

     

                                    

     

     

  • Producto escalar de vectores 01

     

                       

    ¿Por qué?

     

     

    Solución:

     

     

     

    La respuesta es no, porque el coseno de un ángulo no puede ser mayor que 1.