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Producto vectorial de vectores 01
Calcula el vector c, producto vectorial de los vectores a = (1, 2, 3) y b = (–1, 1, 2). Comprueba que c es perpendicular a cada uno de los vectores dados.
Solución:
Producto vectorial:
Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero.
Los vectores a y c son perpendiculares y lo mismo ocurre con b y c.
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Producto escalar de vectores 04
a) Sean los vectores
Halla x e y para que:
sea perpendicular al vector b y tenga el módulo de a.
b) Halla un vector unitario ortogonal a los vectores a y b ¿Hay más de una solución? Si es así, debes dar la solución general.
c) Halla el área del paralelogramo de lados a y b.
Solución:
a) Para que c sea perpendicular a b, se debe cumplir que:
Por tanto:
Sustituyendo el valor de x encontrado en la primera ecuación:
b) Sea el vector v = (x, y, z):
Si v es ortogonal al vector a, entonces v·a = 0 y lo mismo ocurre con b, por tanto:
Existen infinitas soluciones.
Expresión general del vector unitario:
Solución particular:
c)
Área del paralelogramo:
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Producto escalar de vectores 03
Sean los vectores a = (1, 2, –3) y b = (–2, 4, 1). Se pide:
a) El ángulo que forman ambos vectores.
b) Los cosenos directores de a.
c) Halla un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que b.
d) Normaliza el vector a.
Solución:
a) Producto escalar de dos vectores:
Como a es el ángulo que forman ambos vectores, debemos despejarla de la anterior expresión.
b) Si a, b y g, son los ángulos que el vector a forma con los ejes de coordenada, sus cosenos directores son:
c) Sea u el vector unitario buscado:
d) Normalizar un vector consiste en encontrar un vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector dado.
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Producto escalar de vectores 02
Solución:
Primero efectuaremos el siguiente producto, con el fin de obtener la última expresión dada en el enunciado del problema:
Por tanto:
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Producto escalar de vectores 01
¿Por qué?
Solución:
La respuesta es no, porque el coseno de un ángulo no puede ser mayor que 1.
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