Dependencia e independencia lineal de vectores 06

Dados los vectores u₁ = (1, 1, 1, 0), u₂ = (0, 1, –1, 1) y u₃ = (1, 1, 0, 0) de Â⁴, se pide:

a)  Determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes.

b)  Dar un vector v ≠ 0 de modo que el conjunto {u₁, u₂, u₃, v} sea ligado (es decir linealmente dependiente).

c)  Dar un vector w de modo que {u₁, u₂, u₃, w} sea libre.

d)  Expresar el vector x = (1, 2, 4, 3) como combinación lineal de u₁, u₂, u₃ y w.

Solución:

Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

a)              

Los vectores dados son linealmente independientes.

b)  Sea v = (x, y, z, t):

α·u₁ + β·u₂ + γ·u₃ = v

(1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ = (x, y, z, t)

(α, α, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) = (x, y, z, t)

(α + 0 + γ, α + βγ, α – β + 0, 0 + b + 0) = (x, y, z, t)

v = (5, 6, 1, 1)

c)  Sea w = (x, y, z, t)

α·u₁ + β·u₂ + γ·u₃ + λ·w = 0

(1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ + (x, y, z, t) λ = (0, 0, 0, 0)

(α, α, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) + (λ·x, λ·y,λ·z, λ·t) = (0, 0, 0, 0)

(α + 0 + γ + λ·x, α + β + γ + λ·y, α – β + 0 + λ·z, 0 + β + 0 +λl·t) = (0, 0, 0, 0)

Los vectores u₁, u₂, u₃ y w son linealmente independientes, si: t – y + x ≠ 0. Si, por ejemplo: x = 2, y = 3 y t = 0 (z puede tomar cualquier valor, por ejemplo, z = –1):

w = (2, 3, –1, 0)

 d)     

α·u₁ + β·u₂ + γ·u₃ + λ·w = x

(1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ + (2, 3, –1, 0) λ = (1, 2, 4, 3)

(α, α, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) + (2λ, 3λ, λl, 0) = (1, 2, 4, 3)

(α + 0 + γ + 2λ, α + β + γ + 3λ, α – β + 0 – λ, 0 + β + 0 + 0) = (1, 2, 4, 3)

λ = –2 → γ = –4 – 2·(–2) = 0 → β = 3 → α = 1 + 4 = 5

 (1, 1, 1, 0)·5 + (0, 1, –1, 1)·3 + (1, 1, 0, 0)·0 – (2, 3, –1, 0) 2 = (1, 2, 4, 3)

Dependencia e independencia lineal de vectores 05

Dados los vectores v = (1, 2, 3) y w = (1, –1, 1):

a)  ¿Son v y w linealmente independientes?

b)  Escribir un vector u, tal que los vectores u, v y w sean linealmente independientes.

c)  Escribir otro vector m, tal que los vectores m, v y w sean linealmente dependientes.

Solución:

a)  Si para que se cumpla la ecuación: a·v + b·w = 0, obliga a que los escalares a y b sean iguales a cero, los vectores son linealmente independientes. En caso contrario serán linealmente dependientes.

(1, 2, 3) α + (1, –1, 1) β = (0, 0, 0)

(α, 2α, 3α) + (β,–β, β) = (0, 0, 0)

(α + β, 2α – β, 3α + β) = (0, 0, 0)

El sistema es compatible determinado.

El sistema es homogéneo, por tanto, la única solución que tiene es la trivial, o sea,  α = β = 0, luego los vectores son linealmente independientes.

b)  Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

Para que todos lo elementos de la última fila sean ceros, se ha de cumplir que:

Si, por ejemplo, x = 2 e y =1:

luego: z ≠ 4 y una solución para que los vectores dados sean linealmente independiente puede ser: u = (2, 1 5)

c)  Según el apartado anterior: m = (2, 1, 4)

Dependencia e independencia lineal de vectores 04

Calcula x  e y para que los vectores de Â⁴ siguientes sean linealmente independientes:

u₁ = (5, x, –4, –3), u₂ = (1, 0, x, 1) y u₃ = (–1, y, –1, 3)   

Solución:

Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

(5, x, –4, –3) α + (1, 0, x, 1) β + (–1, y, –1, 3) γ = (0, 0, 0, 0)

Si: x = –2 e y = 1 el sistema es compatible indeterminado. Los vectores son linealmente dependientes (los elementos de las dos últimas filas serían ceros).

Si: x = –2 e y ≠ 1 el sistema es compatible determinado, teniendo como solución la trivial (a = b = g = 0), luego los vectores son linealmente independientes (los elementos de la última fila serían ceros).

Si: x ≠ –2 y " y Î Â el sistema es compatible determinado, luego los vectores son linealmente independientes (ninguna de las filas tiene todos sus elementos igual a cero)

Conclusión:

Los vectores u₁, u₂ y u₃ son linealmente independientes para cualquier valor de x e y, excepto para x = –2 e y = 1.

Dependencia e independencia lineal de vectores 03

Estudia la dependencia lineal de los vectores de ³:

u = (1, m, 2), v = (m, 1, m), w = (1, 1, 1)

 según los valores de m.

Solución:

La única fila que todos sus elementos pueden ser igual a cero, según el valor de m, es la segunda. Veamos cuando esto sucede.

Si m = –1:

los vectores son linealmente dependientes.

Si m ≠ –1, por ejemplo, m = 3:

los vectores son linealmente independientes.

Dependencia e independencia lineal de vectores 02

Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

a)     (1, –1, 0), (1, 2, 5) y (5, 4, 2)

b)     (–5, 7, 1), (2, –1, 0) y (–1, 5, 1)

c)     (1, –1, 0), (–1, 2, 1), (0, 1, –1) y (2, 0, 1)

d)     (2, 1, 0) y (–1, 3, 0)

Solución:

Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

a)               

Los tres vectores son linealmente independientes.

b)              

Los tres vectores son linealmente independientes.

c)               

Los vectores u₁, u₂ y u₃ son linealmente independientes y u₄ depende de ellos, luego  el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

d)              

Los vectores u₁ y u₂ son linealmente independientes.