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Dependencia e independencia lineal de vectores 06
Dados los vectores u1 = (1, 1, 1, 0), u2 = (0, 1, –1, 1) y u3 = (1, 1, 0, 0) de Â4, se pide:
a) Determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes.
b) Dar un vector v ≠ 0 de modo que el conjunto {u1, u2, u3, v} sea ligado (es decir linealmente dependiente).
c) Dar un vector w de modo que {u1, u2, u3, w} sea libre.
d) Expresar el vector x = (1, 2, 4, 3) como combinación lineal de u1, u2, u3 y w.
Solución:
Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.
a)
Los vectores dados son linealmente independientes.
b) Sea v = (x, y, z, t):
α·u1 + β·u2 + γ·u3 = v
(1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ = (x, y, z, t)
(α, α, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) = (x, y, z, t)
(α + 0 + γ, α + βγ, α – β + 0, 0 + b + 0) = (x, y, z, t)
v = (5, 6, 1, 1)
c) Sea w = (x, y, z, t)
α·u1 + β·u2 + γ·u3 + λ·w = 0
(1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ + (x, y, z, t) λ = (0, 0, 0, 0)
(α, α, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) + (λ·x, λ·y,λ·z, λ·t) = (0, 0, 0, 0)
(α + 0 + γ + λ·x, α + β + γ + λ·y, α – β + 0 + λ·z, 0 + β + 0 +λl·t) = (0, 0, 0, 0)
Los vectores u1, u2, u3 y w son linealmente independientes, si: t – y + x ≠ 0. Si, por ejemplo: x = 2, y = 3 y t = 0 (z puede tomar cualquier valor, por ejemplo, z = –1):
w = (2, 3, –1, 0)
d)
α·u1 + β·u2 + γ·u3 + λ·w = x
(1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ + (2, 3, –1, 0) λ = (1, 2, 4, 3)
(α, α, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) + (2λ, 3λ, λl, 0) = (1, 2, 4, 3)
(α + 0 + γ + 2λ, α + β + γ + 3λ, α – β + 0 – λ, 0 + β + 0 + 0) = (1, 2, 4, 3)
λ = –2 → γ = –4 – 2·(–2) = 0 → β = 3 → α = 1 + 4 = 5
(1, 1, 1, 0)·5 + (0, 1, –1, 1)·3 + (1, 1, 0, 0)·0 – (2, 3, –1, 0) 2 = (1, 2, 4, 3)
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Dependencia e independencia lineal de vectores 05
Dados los vectores v = (1, 2, 3) y w = (1, –1, 1):
a) ¿Son v y w linealmente independientes?
b) Escribir un vector u, tal que los vectores u, v y w sean linealmente independientes.
c) Escribir otro vector m, tal que los vectores m, v y w sean linealmente dependientes.
Solución:
a) Si para que se cumpla la ecuación: a·v + b·w = 0, obliga a que los escalares a y b sean iguales a cero, los vectores son linealmente independientes. En caso contrario serán linealmente dependientes.
(1, 2, 3) α + (1, –1, 1) β = (0, 0, 0)
(α, 2α, 3α) + (β,–β, β) = (0, 0, 0)
(α + β, 2α – β, 3α + β) = (0, 0, 0)
El sistema es compatible determinado.
El sistema es homogéneo, por tanto, la única solución que tiene es la trivial, o sea, α = β = 0, luego los vectores son linealmente independientes.
b) Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.
Para que todos lo elementos de la última fila sean ceros, se ha de cumplir que:
Si, por ejemplo, x = 2 e y =1:
luego: z ≠ 4 y una solución para que los vectores dados sean linealmente independiente puede ser: u = (2, 1 5)
c) Según el apartado anterior: m = (2, 1, 4)
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Dependencia e independencia lineal de vectores 04
Calcula x e y para que los vectores de Â4 siguientes sean linealmente independientes:
u1 = (5, x, –4, –3), u2 = (1, 0, x, 1) y u3 = (–1, y, –1, 3)
Solución:
Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.
(5, x, –4, –3) α + (1, 0, x, 1) β + (–1, y, –1, 3) γ = (0, 0, 0, 0)
Si: x = –2 e y = 1 el sistema es compatible indeterminado. Los vectores son linealmente dependientes (los elementos de las dos últimas filas serían ceros).
Si: x = –2 e y ≠ 1 el sistema es compatible determinado, teniendo como solución la trivial (a = b = g = 0), luego los vectores son linealmente independientes (los elementos de la última fila serían ceros).
Si: x ≠ –2 y " y Î Â el sistema es compatible determinado, luego los vectores son linealmente independientes (ninguna de las filas tiene todos sus elementos igual a cero)
Conclusión:
Los vectores u1, u2 y u3 son linealmente independientes para cualquier valor de x e y, excepto para x = –2 e y = 1.
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Dependencia e independencia lineal de vectores 03
Estudia la dependencia lineal de los vectores de Â3:
u = (1, m, 2), v = (m, 1, m), w = (1, 1, 1)
según los valores de m.
Solución:
La única fila que todos sus elementos pueden ser igual a cero, según el valor de m, es la segunda. Veamos cuando esto sucede.
Si m = –1:
los vectores son linealmente dependientes.
Si m ≠ –1, por ejemplo, m = 3:
los vectores son linealmente independientes.
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Dependencia e independencia lineal de vectores 02
Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:
a) (1, –1, 0), (1, 2, 5) y (5, 4, 2)
b) (–5, 7, 1), (2, –1, 0) y (–1, 5, 1)
c) (1, –1, 0), (–1, 2, 1), (0, 1, –1) y (2, 0, 1)
d) (2, 1, 0) y (–1, 3, 0)
Solución:
Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.
a)
Los tres vectores son linealmente independientes.
b)
Los tres vectores son linealmente independientes.
c)
Los vectores u1, u2 y u3 son linealmente independientes y u4 depende de ellos, luego el conjunto de vectores es linealmente dependiente.
d)
Los vectores u1 y u2 son linealmente independientes.
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