Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Dependencia e independencia lineal de vectores 06

     

    Dados los vectores u1 = (1, 1, 1, 0), u2 = (0, 1, –1, 1) y u3 = (1, 1, 0, 0) de Â4, se pide:

    a)  Determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes.

     

    b)  Dar un vector v ≠ 0 de modo que el conjunto {u1, u2, u3, v} sea ligado (es decir linealmente dependiente).

    c)  Dar un vector w de modo que {u1, u2, u3, w} sea libre.

    d)  Expresar el vector x = (1, 2, 4, 3) como combinación lineal de u1, u2, u3 y w.

     

     

    Solución:

    Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

    a)              

     

     

     

    Los vectores dados son linealmente independientes.

    b)  Sea v = (x, y, z, t):

     

    α·u1 + β·u2 + γ·u3 = v

     

    (1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ = (x, y, z, t)

     

    (αα, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) = (x, y, z, t)

     

    (α + 0 + γαβγα – β + 0, 0 + b + 0) = (x, y, z, t)

     

     

     

    v = (5, 6, 1, 1)

     

    c)  Sea w = (x, y, z, t)

     

    α·u1 + β·u2 + γ·u3λ·w = 0

     

    (1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ + (x, y, z, t) λ = (0, 0, 0, 0)

     

    (αα, α, 0) + (0, β, –ββ) + (γ, γ, 0, 0) + (λ·x, λ·y,λ·z, λ·t) = (0, 0, 0, 0)

     

    (α + 0 + γλ·x, αβ + γλ·y, αβ + 0 + λ·z, 0 + β + 0 +λl·t) = (0, 0, 0, 0)

     

     

     

    Los vectores u1, u2, u3 y w son linealmente independientes, si: t – y + x ≠ 0. Si, por ejemplo: x = 2, y = 3 y t = 0 (z puede tomar cualquier valor, por ejemplo, z = –1):

     

    w = (2, 3, –1, 0)

     d)     

     

    α·u1 + β·u2 + γ·u3λ·w = x

     

    (1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ + (2, 3, –1, 0) λ = (1, 2, 4, 3)

     

    (α, α, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) + (2λ, 3λ, λl, 0) = (1, 2, 4, 3)

     

    (α + 0 + γ + 2λαβγ + 3λα – β + 0 – λ, 0 + β + 0 + 0) = (1, 2, 4, 3)

     

     

     

     

    λ = –2 → γ = –4 – 2·(–2) = 0 → β = 3 → α = 1 + 4 = 5

     

     (1, 1, 1, 0)·5 + (0, 1, –1, 1)·3 + (1, 1, 0, 0)·0 – (2, 3, –1, 0) 2 = (1, 2, 4, 3)

     

     

  • Dependencia e independencia lineal de vectores 05

     

    Dados los vectores v = (1, 2, 3) y w = (1, –1, 1):

    a)  ¿Son v y w linealmente independientes?

     

    b)  Escribir un vector u, tal que los vectores u, v y w sean linealmente independientes.

    c)  Escribir otro vector m, tal que los vectores m, v y w sean linealmente dependientes.

     

     

    Solución:

    a)  Si para que se cumpla la ecuación: a·v + b·w = 0, obliga a que los escalares a y b sean iguales a cero, los vectores son linealmente independientes. En caso contrario serán linealmente dependientes.

     

    (1, 2, 3) α + (1, –1, 1) β = (0, 0, 0)

     

    (α, 2α, 3α) + (β,–β, β) = (0, 0, 0)

     

    (α + β, 2α – β, 3αβ) = (0, 0, 0)

     

     

     

    El sistema es compatible determinado.

    El sistema es homogéneo, por tanto, la única solución que tiene es la trivial, o sea,  αβ = 0, luego los vectores son linealmente independientes.

    b)  Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

     

     

     

    Para que todos lo elementos de la última fila sean ceros, se ha de cumplir que:

     

     

     

    Si, por ejemplo, x = 2 e y =1:

     

     

     

    luego: z ≠ 4 y una solución para que los vectores dados sean linealmente independiente puede ser: u = (2, 1 5)

     

    c)  Según el apartado anterior: m = (2, 1, 4)

     

     

  • Dependencia e independencia lineal de vectores 04

     

    Calcula x  e y para que los vectores de Â4 siguientes sean linealmente independientes:

    u1 = (5, x, –4, –3), u2 = (1, 0, x, 1) y u3 = (–1, y, –1, 3)   

     

     

    Solución:

    Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

     

    (5, x, –4, –3) α + (1, 0, x, 1) β + (–1, y, –1, 3) γ = (0, 0, 0, 0)

     

     

     

    Si: x = –2 e y = 1 el sistema es compatible indeterminado. Los vectores son linealmente dependientes (los elementos de las dos últimas filas serían ceros).

    Si: x = –2 e y ≠ 1 el sistema es compatible determinado, teniendo como solución la trivial (a = b = g = 0), luego los vectores son linealmente independientes (los elementos de la última fila serían ceros).

    Si: x ≠ –2 y " y Î Â el sistema es compatible determinado, luego los vectores son linealmente independientes (ninguna de las filas tiene todos sus elementos igual a cero)

    Conclusión:

    Los vectores u1, u2 y u3 son linealmente independientes para cualquier valor de x e y, excepto para x = –2 e y = 1.

     

  • Dependencia e independencia lineal de vectores 03

     

    Estudia la dependencia lineal de los vectores de Â3:

     

    u = (1, m, 2), v = (m, 1, m), w = (1, 1, 1)

     

     según los valores de m.

     

     

    Solución:

     

     

     

    La única fila que todos sus elementos pueden ser igual a cero, según el valor de m, es la segunda. Veamos cuando esto sucede.

     

     

     

    Si m = –1:

     

     

     

    los vectores son linealmente dependientes.

    Si m ≠ –1, por ejemplo, m = 3:

     

     

     

    los vectores son linealmente independientes.

     

     

  • Dependencia e independencia lineal de vectores 02

     

    Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

    a)     (1, –1, 0), (1, 2, 5) y (5, 4, 2)

     

    b)     (–5, 7, 1), (2, –1, 0) y (–1, 5, 1)

    c)     (1, –1, 0), (–1, 2, 1), (0, 1, –1) y (2, 0, 1)

    d)     (2, 1, 0) y (–1, 3, 0)

     

     

    Solución:

    Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

    a)               

     

     

     

    Los tres vectores son linealmente independientes.

    b)              

     

     

     

    Los tres vectores son linealmente independientes.

    c)               

     

     

     

    Los vectores u1, u2 y u3 son linealmente independientes y u4 depende de ellos, luego  el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

    d)              

     

     

     

    Los vectores u1 y u2 son linealmente independientes.