Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Resolución de problemas 02

     

    Halla tres números sabiendo que el primero es igual a dos veces el segundo más la mitad del tercero, que la suma del segundo y el tercero es igual al primero más uno, y que si se resta el segundo de la suma del primero con el tercero, el resultado es 5. (Por Cramer)

     

    Solución:

    Si los números son: el primero x, el segundo y, y el tercero z, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

     

    x = 2 y + (1/2) z

     

    y + z = x + 1

     

    y – (x + z) = 5

     

     

     

    Los números son: 5/2; 1/2 y 3

     

     

     

  • Resolución de problemas 01

     

    Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres tipos de envases, A, B y C. cuyos precios y pesos son los de la siguiente tabla:

     

     

     

    Peso (g)

    Precio (€)

     

     

    A

    250

    1,00

     

     

    B

    500

    1,80

     

     

    C

    1000

    3,30

     

     

    A una farmacia se le ha suministrado un pedido de 5 envases con un peso total de 2,5 kg por un importe de 8,90 € ¿Cuántos envases de cada tipo ha comprado la farmacia?

     

     

    Solución:

     

     

     

    Peso (g)

    Precio (€)

    Número de envases

     

     

    A

    250

    1,00

    x

     

     

    B

    500

    1,80

    y

     

     

    C

    1000

    3,30

    z

     

     

    Como se han suministrado 5 envase, se debe cumplir que:

     

    x + y + z = 5

     

    El peso total es 2,5 kg, es decir 2500 g, luego:

     

    250 x + 500 y + 1000 z = 2500

     

    Simplificando la anterior expresión:

     

    x + 2 y + 4 z = 10

     

    El importe es 8,90 €, por tanto:

     

    1,00 x + 1,80 y + 3,30 z = 8,90

     

    Multiplicando por 10 todos los términos de la anterior ecuación, obtendremos:

     

    10 x + 18 y + 33 z = 89

     

    Por tanto tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

     

     

     

    Hemos obtenido el siguiente sistema escalonado:

     

     

     

    y + 3 = 5 y = 2

     

    x + 2 + 1= 5 x = 2

     

    La farmacia ha comprado 2 envases del tipo A, 2 del tipo B y 1 del tipo C.

     

     

     

  • Estudio y resolución de sistemas homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché 03

     

    Discute el sistema, según los valores del parámetro, y resuelve por la regla de Cramer:

     

     

     

    Solución:

    Este sistema es homogéneo (los términos independientes son ceros), luego siempre tiene solución, la trivial, x = y = z = 0. Para que tenga otras soluciones el sistema debe ser compatible indeterminado, luego el determinante de los coeficientes ha de ser igual a cero.

     

     

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.

     

    2k + 12 + 42 + 2 + 5k = 0

     

    7k + 56 = 0 7k = –56 k = –56/7 = –8   

     

    Si k = –8, el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones.

    Si k ≠ –8, el sistema es compatible determinado y solamente tiene una solución que es la trivial.

    Para k = –8, ya hemos visto que el determinante era igual a cero, por lo tanto la última fila es combinación lineal de las otra dos, pero veamos si existe algún menor de orden dos diferente de cero.

     

     

     

    Como el rango de la matriz ampliada es igual a 2 y el número de incógnitas es 3, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

     

     

     

    Resolviendo por Cramer:

     

     

     

    Si hacemos: z = 19l, con l Î Â, tenemos:

     

    x = l, y = 7l, z = 19l

     

     

     

     

  • Estudio y resolución de sistemas homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché 02

     

    Analiza y resuelve:

     

     

     

    Solución:

    Los sistemas homogéneos siempre tienen solución: x = y = z = 0, solución que recibe el nombre de trivial.

    Para que el sistema homogéneo tenga otras soluciones, es necesario y suficiente que sea un sistema compatible indeterminado, o sea, que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas. Por tanto el determinante de la matriz de los coeficientes ha de ser igual a cero.

     

     

     

    El determinante es igual a cero por tener dos columnas iguales.

    El sistema es compatible simplemente indeterminado, ya que rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas.

     

     

     

     

     

  • Estudio y resolución de sistemas homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché 01

     

    Estudia y resuelve el siguiente sistema homogéneo:

     

     

     

    Solución:

     

     

     

    Los sistemas homogéneos siempre tienen solución: x = y = z = 0, solución que recibe el nombre de trivial.

    Para que el sistema homogéneo tenga otras soluciones, es necesario y suficiente que sea un sistema compatible indeterminado, o sea, que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas. Por tanto el determinante de la matriz de los coeficientes a de ser igual a cero.

     

     

     

    Si: m ≠ 5, rg (A) = rg (A/B) = número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible determinado cuya solución es la trivial.

    Si: m = 5, rg (A) = rg (A/B) =2 < número de incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

     

     

     

    Solución: (–l, 0, l)