Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 05 (2ª parte)

     

    Ahora estudiaremos el rango de la matriz ampliada:

     

     

    por tener dos columnas (o filas) iguales.

     

     

     

    Si d = 0, rg (A/B) = 1. Si d ≠ 0, rg (A/B) = 2.

    Por tanto: 

    Si c = 1 y d = 0, rg (A) = rg (A/B) = 1 < número de incógnitas = 3. El sistema es compatible indeterminado (dos grados de libertad)

    Si c = 1 y d ≠ 0, rg (A) = 1 < 2 = rg (A/B). El sistema es incompatible.

    Si c = –1, tenemos que:

     

     

     

    Luego:

    Si c = –1 y d = 0, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas = 3. El sistema es compatible indeterminado (un grado de libertad)

    Si c = –1 y d ≠ 0, rg (A) = 2 < 3 = rg (A/B). El sistema es incompatible.

    Resolución:

    Para c ≠ ±1, " d Î Â:

     

     

     

    Como para c = 1 y d = 0 el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad, se pueden eliminar las dos últimas ecuaciones y el sistema queda con una única ecuación cuya solución es:

     

     

     

    Para c = –1 y d = 0 el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, luego podemos eliminar la última ecuación y el sistema queda de la siguiente manera:

     

     

     

     

     

  • Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 05 (1ª parte)

     

    Discute y resuelve el siguiente sistema en función de los valores de los parámetros, empleando la regla de Cramer para su resolución:

     

     

     

    Solución:

    Matriz de los coeficientes:

     

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Estudiemos para qué valores del parámetro c se obtiene el mayor rango de la matriz de los coeficientes.

     

     

     

    Veamos para que valores de c, el determinante es igual a cero.

     

     

     

    Si c ≠ ±1, " d Î Â, rg (A) = rg (A/B) = 3 = número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado, ya que el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a cuatro (no tiene suficientes filas).

    Si c = 1 o c = –1, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.

    Si c = 1  tenemos que:

     

     

     

    y todos los menores de orden 2 pertenecientes a la matriz de los coeficientes es igual a cero por tener dos filas (o columnas) iguales, luego rg (A) = 1.

     

     

     

     

  • Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 04

     

    Aplicando el teorema de Rouché, halla m para que el sistema:

     

     

    a)   Sea compatible.

    b)   Resolverlo.

     

     

    Solución:

    a)   Matriz de los coeficientes:

     

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Primero estudiaremos el rango de la matriz del sistema según el valor de m.

     

     

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.

    Veamos para qué valores de m el determinante es igual a cero.

     

     

     

    –m3 + 18 m – 35 = (m + 5)·(–m + 5 m – 7) = 0

     

    Primera solución:

     

    m + 5 = 0 → m = –5

     

    Segunda solución:

     

     

     

    Si m ≠ –5, rg (A/B) = 3 y como el rango de la matriz de los coeficientes no puede ser mayor de 2 (la matriz no tiene suficientes columnas para ser de orden 3), el sistema es incompatible.

    Si m = –5:

     

     

     

    rg (A) = rg (A/B) = 2 = número de incógnitas.

     

    El sistema es compatible determinado.

    b)   Si m = –5, el sistema queda de la siguiente forma:

     

    –5 x + 3 y = 2

     

    3 x + 2 y = –5

     

    Resolviendo por Cramer:

     

     

     

     

     

  • Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 03 (2ª parte)

     

    Resolviendo por Cramer:

     

     

     

    Se ha podido simplificar por t  porque t ≠ 0.

     

     

     

     

     

     

  • Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 03 (1ª parte)

     

    Sea el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro t:

     

     

    Estudiar según los valores del parámetro t y resolver en los casos que proceda.

     

     

    Solución:

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Estudiemos para qué valores del parámetro t se obtiene el mayor rango de la matriz de los coeficientes (A).

     

     

     

    Veamos para que valores de t, el determinante es igual a cero.

     

     

     

    Si t = 0, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:

     

     

     

    Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

    Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.

     

     

     

    ya que la primera fila tiene todos sus términos iguales a cero.

    Por tanto: rg (A) = rg (A/B) = 2 < 3 = número de incógnitas

    El sistema es compatible indeterminado (un grado de libertad).

    El sistema dado es equivalente a:

     

    2x +y – z = –2

     

    –x + 3z = 20

     

    Si z = l Î Â:

     

    –x + 3l = 20 x = 3l – 20

     

    2 (3l – 20) + y – l = –2

     

      6l – 40 + y – l = –2

     

    y = –5l + 38

     

    Para t = 0, las soluciones del sistema son:

     

    x = 3l – 20; y = –5l + 38; z = l

     

    Si t =1, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:

     

     

     

    Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

    Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.

     

     

     

    Por tanto, rg (A/B) = 3, luego, rg (A) < rg (A/B).

    El sistema es incompatible y carece de solución.

    Si t =2, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2. 

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:

     

     

     

    Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

    Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.

     

     

     

    Por tanto, rg (A/B) = 3, luego, rg (A) < rg (A/B).

    El sistema es incompatible y carece de solución.

    Si t Î Â{0, 1 2} entonces rg (A) = rg (A/B) = 3 = número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible determinado (El rango de la matriz ampliada no puede ser mayor de 3 porque no hay suficientes filas para obtener un menor de orden 4)