Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio de sistemas no homogéneos. Teorema de Rouché 04

     

    Discute, por determinantes, el siguiente sistema, según los valores de a y b:

     

     

     

    Solución:

    Matriz de los coeficientes:

     

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Debemos estudiar el rango de (A) y compararlo con el de (A/B), teniendo en cuenta que el rango de (A) es igual a dos como máximo.

     

     

     

    Si:

     

     

     

    el sistema es incompatible.

    Si a = 2:

     

     

     

    Ahora se elimina la tercera fila y se orla la cuarta fila.

     

     

     

    Por tanto:

     

     

     

    El rg (A) = 2, ya que:

     

     

     

     

  • Estudio de sistemas no homogéneos. Teorema de Rouché 03

     

    Dado el sistema:

     

    Halla m para que:

    a)   No tenga solución.

    b)   Tenga infinitas soluciones.

    c)   Tenga solución única.

    d)   Tenga una única solución en la que x = 3.

     

     

    Solución:

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Estudiemos el rango de la matriz de los coeficientes:

     

     

     

    Si m = 1:

     

     

     

    Car (A) = Car (A/B) = 1 < número de incógnitas

    Si m = –1:

     

     

     

     

     Car (A) = 1 y Car (A/B) = 2

     

     

    a)   Si m = –1 el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución, ya que el rango o característica de la matriz ampliada es mayor que la característica de la matriz del sistema.

     

    b)   Si m = 1 el sistema es compatible simplemente indeterminado, o sea, tienen infinitas soluciones, pues la característica o rango de la matriz ampliada es igual al de la matriz del sistema,  pero es menor que el número de incógnitas. 

     

    c)   Si m ≠ 1 y m ≠ –1 se cumple que Car (A) = Car (A/B) = 2 = nº de incógnitas y el sistema es compatible determinado por lo que tiene una única solución.

    d)   Sustituyendo x = 3 en ambas ecuaciones tenemos el siguiente sistema:

     

     

     

     

    Para que el sistema tenga una única solución con x = 3, m ha de ser igual –4/3, pues si m = 1, el sistema tiene infinitas soluciones.

     

     

     

  • Estudio de sistemas no homogéneos. Teorema de Rouché 02

     

    Dado el sistema:

     

     

    Estudia, según los valores de los parámetros a y b, por el método de los determinantes.

     

     

    Solución:

    Matriz de los coeficientes:

     

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Debemos estudiar el rango de (A) y compararlo con el de (A/B), teniendo en cuenta que el rango de (A) es igual a dos como máximo.

     

     

     

    Ahora orlamos este menor con la tercera columna y la cuarta  fila de la matriz ampliada.

     

     

     

    Si:

     

     

    El sistema es incompatible. Carece de solución.

    Como el rango de (A) es 2, para que el sistema sea compatible, si a = –1, se debe verificar que:

     

     

     

    Por tanto:

     

     

     

     

     

  • Estudio de sistemas no homogéneos. Teorema de Rouché 01

     

    Determina los valores de t para que el siguiente sistema tenga solución:

     

     

     

     

     

    Solución:

    Antes de estudiar este sistema debemos recordar que siendo (A) la matriz de los coeficientes y (A/B) la matriz ampliada:

    a)   Si rg (A) = rg (A/B) = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

    b)   Si rg (A) < rg (A/B) o también rg(A) ≠ rg (A/B), el sistema es incompatible.

    c)   Si rg (A) = rg (A/B) < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

    Grados de  libertad (nº de incógnitas secundarias) = nº de incógnitas – rg (A).

    Si nº incógnitas – rg (A) = 1 el sistema es simplemente indeterminado.

    Si nº incógnitas – rg (A) = 2 el sistema es doblemente indeterminado.

    Si nº incógnitas – rg (A) = 3 el sistema es triplemente indeterminado.

    Para resolver el caso c) se deben tomar el mismo número de ecuaciones e incógnitas que el rango o característica de (A) o de (A/B).

    Matriz de los coeficientes:

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Estudiemos para qué valores del parámetro t,  se obtiene el mayor rango de la matriz de los coeficientes.

     

     

     

    Si: t = 0 o t = ±1, rg (A) = 1, de momento.

     

     

     

    Luego si: t = 0 o t =1, rg (A) = 1.

    Si: t ≠ 0 y t ≠ 1, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible indeterminado (el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a 3, porque no hay suficientes filas).

    Si t = 0:

     

     

     

    Por tanto: rg (A) < rg (A/B), el sistema es incompatible.

    Si t = 1:

     

     

     

     

    Luego rg (A) = rg (A/B) < número de incógnitas y el sistema es compatible indeterminado.

     

     

  • Resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Regla de Cramer 03

     

    Resuelve el siguiente sistema por Cramer:

     

    2x + 4y – 3z = 2

     

     –x + y + z = –1

     

      x + 2 y + z = 0

     

     

    Solución:

    Primero debemos comprobar que el determinante de la matriz del sistema no es cero, es decir, │A│≠ 0.

     

     

    Como │A│≠ 0, o sea, la matriz del sistema es regular, podemos resolver el sistema dado aplicando la regla de Cramer.